В бассейн проведены три трубы. Первая труба наливает \(\displaystyle 30 \) метров кубических воды в час. Вторая труба наливает в час на \(\displaystyle 3V\) метра кубических воды меньше, чем первая (\(\displaystyle 0<V<10\)), а третья труба наливает в час на \(\displaystyle 10V\) метра кубических воды больше первой. Сначала первая и вторая трубы, работая вместе, наливают \(\displaystyle 30\%\) бассейна, а затем все три трубы, работая вместе, наливают оставшиеся \(\displaystyle 0{,}7\) бассейна. При каком значении \(\displaystyle V\) бассейн быстрее всего наполнится указанным способом?
- первая труба наполняет бассейн со скоростью \(\displaystyle 30\) м3 в час,
- вторая труба наполняет бассейн со скоростью \(\displaystyle 30-3V\) м3 в час,
- третья труба наполняет бассейн со скоростью \(\displaystyle 30+10V\) м3 в час.
Пусть \(\displaystyle x\) м3 – объем бассейна. Тогда фраза "сначала первая и вторая трубы, работая вместе, наливают \(\displaystyle 30\%\) бассейна" означает, что
\(\displaystyle 0{,}3x\) заполняется со скоростью \(\displaystyle 30+30-3V{ \small ,}\)
затраченное время \(\displaystyle \frac{0{,}3x}{30+30-3V}{\small .}\)
Оставшиеся \(\displaystyle 70\%\) бассейна заполняется всеми тремя трубами, то есть
\(\displaystyle 0{,}7x\) заполняется со скоростью \(\displaystyle 30+30-3V+30+10V{ \small ,}\)
затраченное время \(\displaystyle \frac{0{,}7x}{30+30-3V+30+10V}{\small .}\)
Общее время, затраченное на заполнение бассейна, равно
\(\displaystyle T=\frac{0{,}3x}{60-3V}+\frac{0{,}7x}{90+7V}{\small .}\)
Так как требуется найти наименьшее время \(\displaystyle T{ \small ,}\) а объем бассейна – величина постоянная, то можно разделить обе части равенства на \(\displaystyle x\) (объем бассейна) и искать максимум новой функции:
\(\displaystyle \frac{T}{x}=\frac{0{,}3}{60-3V}+\frac{0{,}7}{90+7V}{\small .}\)
Найдем производную функции \(\displaystyle f(V)=\frac{0{,}3}{60-3V}+\frac{0{,}7}{90+7V}\) по переменной \(\displaystyle V{\small :}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(V)=\left(\frac{0{,}3}{60-3V}+\frac{0{,}7}{90+7V}\right)^{\prime}&=\left(\frac{0{,}3}{60-3V} \right)^{\prime}+\left(\frac{0{,}7}{90+7V}\right)^{\prime}=\\&=\frac{0{,}3\cdot (-3)\cdot (-1)}{(60-3V)^2}+\frac{0{,}7\cdot 7\cdot (-1)}{(90+7V)^2}{\small .}\end{aligned}\)
Преобразуем:
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{0{,}3\cdot (-3)\cdot (-1)}{(60-3V)^2}&+\frac{0{,}7\cdot 7\cdot (-1)}{(90+7V)^2}=0{,}1\left(\frac{9}{(60-3V)^2}-\frac{49}{(90+7V)^2}\right)=\\[10px]&\hspace{-2em} =0{,}1\left(\frac{3}{60-3V}+\frac{7}{90+7V}\right)\left(\frac{3}{60-3V}-\frac{7}{90+7V}\right)=\\[10px]&\hspace{-2em} =0{,}1\left(\frac{3(90+7V)+7(60-3V)}{(60-3V)(90+7V)}\right)\left(\frac{3(90+7V)-7(60-3V)}{(60-3V)(90+7V)}\right)=\\[10px]&\hspace{-2em} =0{,}1\left(\frac{690}{(60-3V)(90+7V)}\right)\left(\frac{-150+42V}{(60-3V)(90+7V)}\right){\small .}\end{aligned}\)
Найдем точки, в которых числитель или знаменатель производной обращается в ноль. Это
\(\displaystyle V=20,\, V=-\frac{90}{7}\) и \(\displaystyle V=\frac{25}{7}{\small .}\)
Получаем, что \(\displaystyle V=\frac{25}{7}\) – точка минимума.
Ответ: \(\displaystyle \frac{25}{7}{\small .}\)