По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна \(\displaystyle I = \frac{\varepsilon }{{R + r}}{\small,}\) где \(\displaystyle \varepsilon \) – ЭДС источника (в вольтах), \(\displaystyle r = 1\) Ом – его внутреннее сопротивление, \(\displaystyle R\) – сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более \(\displaystyle 20\%\) от силы тока короткого замыкания \(\displaystyle I_{\text{кз}} = \frac{\varepsilon }{r}{\small?}\) Ответ дайте в омах.
В задаче требуется выяснить, при каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока \(\displaystyle I\) будет составлять не более \(\displaystyle 20\%\) от силы тока короткого замыкания \(\displaystyle I_{\text{кз}}{\small.}\)
Запишем это в виде неравенства:
\(\displaystyle \color{green}I\leq \quad 20\%\) от \(\displaystyle \color{blue}{I_{\text{кз}}}{\small.}\)
\(\displaystyle 20\%\) от силы тока короткого замыкания \(\displaystyle I_{\text{кз}}\) составляет величина \(\displaystyle \frac{20}{100}\cdot I_{\text{кз}}=\frac{1}{5}\cdot I_{\text{кз}}{\small.}\)
Значит,
\(\displaystyle \color{green}I\leq \frac{1}{5}\cdot \color{blue}{I_{\text{кз}}}{\small.}\)
Поскольку \(\displaystyle \color{green}{I} = \color{green}{\frac{\varepsilon }{{R + r}}}\) и \(\displaystyle \color{blue}{I_{\text{кз}}} = \color{blue}{\frac{\varepsilon }{r}}{\small,}\) то получаем неравенство
\(\displaystyle \color{green}{\frac{\varepsilon }{{R + r}}} \leq \frac{1}{5}\cdot \color{blue}{\frac{\varepsilon }{r}}{\small.}\)
По условию \(\displaystyle r = 1\) Ом. Подставляя это значение и сокращая обе части на положительное число \(\displaystyle \varepsilon{\small,}\) получаем:
\(\displaystyle {\frac{\varepsilon }{{R + 1}}} \leq \frac{1}{5}\cdot {\frac{\varepsilon }{1}}{\small,}\)
\(\displaystyle {\frac{\varepsilon }{{R + 1}}} \leq {\frac{\varepsilon }{5}} \,| : \color{red}{\varepsilon}\)
\(\displaystyle {\frac{1}{{R + 1}}} \leq {\frac{1}{5}}{\small,}\)
Домножим обе части неравенства на положительное число \(\displaystyle 5(R+1){\small.}\) Получаем:
\(\displaystyle {\frac{1}{{R + 1}}} \leq {\frac{1}{5}} \, |\cdot \color{red}{5(R+1)} {\small,}\)
\(\displaystyle 5 \leq R+1 {\small,}\)
откуда \(\displaystyle R \geq 4. \)
Тогда наименьшее сопротивление составляет \(\displaystyle 4\) Ом.
Ответ: \(\displaystyle 4\) Ом.