Клиент \(\displaystyle А\) сделал вклад в банке в размере \(\displaystyle 7700\) рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент \(\displaystyle Б.\) Еще ровно через год клиенты \(\displaystyle А\) и \(\displaystyle Б\) закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент \(\displaystyle А\) получил на \(\displaystyle 847\) рублей больше клиента \(\displaystyle Б.\) Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?
Пусть банк начислял \(\displaystyle n\%\) годовых. Тогда к сумме в \(\displaystyle a\) рублей через год добавится
\(\displaystyle \frac{a}{100}\cdot n\) рублей.
Следовательно, в конце года на счету будет
\(\displaystyle a+\frac{a}{100}\cdot n=a(1+\frac{1}{100}\cdot n)=a\cdot \frac{100+n}{100}\) рублей.
Для удобства обозначим за \(\displaystyle x=\frac{100+n}{100}{\small .}\)
Клиент \(\displaystyle А\) сделал вклад в банке в размере \(\displaystyle 7700\) рублей.
Тогда по окончанию первого года на счету будет
\(\displaystyle 7700\cdot x\) рублей.
По окончанию второго года на счету будет
\(\displaystyle \color{blue}{7700\cdot x\cdot x}\) рублей.
Клиент \(\displaystyle Б\) сделал вклад в банке в размере \(\displaystyle 7700\) рублей. Тогда по окончанию первого года на счету будет
\(\displaystyle \color{green}{7700\cdot x}\) рублей.
При этом клиент \(\displaystyle А\) получил на \(\displaystyle 847\) рублей больше клиента \(\displaystyle Б,\) то есть
\(\displaystyle \color{blue}{7700\cdot x\cdot x}-\color{green}{7700\cdot x}=847{\small .}\)
Получаем уравнение на переменную \(\displaystyle x \small:\)
\(\displaystyle 7700x^2-7700x-847=0{\small .}\)
Решим квадратное уравнение.
Сократим уравнение сначала на \(\displaystyle 7{ \small ,} \) затем на \(\displaystyle 11{\small .} \) Получаем:
\(\displaystyle 7700x^2-7700x-847=0 \,| :\color{red}{ 7}\)
\(\displaystyle 1100x^2-1100x-121=0 \,| :\color{red}{ 11}\)
\(\displaystyle 100x^2-100x-11=0{\small .} \)
Дискриминант равен
\(\displaystyle {\rm D}= 100^2-4\cdot 100\cdot (-11)=100(100+4\cdot 11)=100\cdot 144=10^2\cdot 12^2=120^2{\small .}\)
Тогда корни равны
\(\displaystyle x_1=\frac{ 100-120}{ 200 }=-\frac{1}{10}\) или \(\displaystyle x_2=\frac{ 100+120}{ 200 }=\frac{11}{10}{\small .}\)
Так как значение \(\displaystyle x\) не может быть отрицательным, то \(\displaystyle x=\frac{11}{10}{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \frac{11}{10}=\frac{100+n}{100}\)
Умножая обе части уравнения на \(\displaystyle 100{\small ,}\) получаем:
\(\displaystyle 110=100+n{ \small ,}\)
откуда
\(\displaystyle n=10{\small .}\)
Ответ:\(\displaystyle 10{\small .}\)