Skip to main content

Теория: 03 Прикладные задачи с использованием степеней или логарифмов

Задание

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон \(\displaystyle pV^k = 10^5\) \(\displaystyle \small \text{ Па}\cdot \textrm{м}^{5}{\small,}\) где \(\displaystyle p\) – давление в газе в паскалях, \(\displaystyle V\) – объём газа в кубических метрах, \(\displaystyle k=\dfrac{4}{3}{\small.}\) Найдите, какой объём \(\displaystyle V\) (в куб. м) будет занимать газ при давлении \(\displaystyle p{\small,}\) равном \(\displaystyle 6{,}25 \cdot 10^7\) Па.

0,008
Решение

По условию дано давление \(\displaystyle \color{blue}p\) Па и коэффициент  \(\displaystyle \color{green}k{\small.}\)

Подставим данные значения в соотношение при адиабатическом процессе для идеального газа  \(\displaystyle \color{blue}pV^{\color{green}k} = 10^5{\small.}\)

Поскольку \(\displaystyle \color{blue}{p}=\color{blue}{6{,}25 \cdot 10^7}\) и \(\displaystyle \color{green}{k}=\color{green}{\dfrac{4}{3}}{\small,}\)  то получаем:

\(\displaystyle \color{blue}{6{,}25 \cdot 10^7}\cdot V^{\color{green}{\frac{4}{3}}} = 10^5{\small.}\)


Решим это уравнение.

Перенесем все постоянные в правую часть уравнения: 

\(\displaystyle {6{,}25 \cdot 10^7}\cdot V^{{\frac{4}{3}}} = 10^5 \, | : \color{red}{6{,}25 \cdot 10^7}{\small,}\)

\(\displaystyle V^{{\frac{4}{3}}} = \frac{10^5}{6{,}25 \cdot 10^7} {\small,}\)

\(\displaystyle V^{{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{625} {\small,}\)

\(\displaystyle V^{{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{625} {\small.}\)


Возведем обе части равенства в степень  \(\displaystyle \frac{3}{4}\): 

\(\displaystyle \color{red}(V^{{\frac{4}{3}}}\color{red}{)^\frac{3}{4}} = \color{red}{\Big(}\frac{1}{625}\color{red}{\Big)^\frac{3}{4}} {\small,}\)

\(\displaystyle V = \Big(\frac{1}{625}\Big)^\frac{3}{4} {\small,}\)

\(\displaystyle V = \Big(\frac{1}{5^4}\Big)^\frac{3}{4} =\frac{1}{{(5^{4})}^\frac{3}{4}}=\frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}=0{,}008{\small.}\)

Тогда занимаемый газом объём составит \(\displaystyle 0{,}008\) куб. м.

Ответ: \(\displaystyle 0{,}008\) м3.