Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле \(\displaystyle A(\omega ) = \frac{{A_0 \omega _p^2 }}{{|\omega_p^2 - \omega ^2|}}{ \small ,}\) где \(\displaystyle \omega \) – частота вынуждающей силы (в c-1), \(\displaystyle A_0 \) – постоянный параметр, \(\displaystyle \omega_p = 360\)c-1 – резонансная частота. Найдите максимальную частоту \(\displaystyle \omega { \small ,}\) меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину \(\displaystyle A_0 \) не более чем на \(\displaystyle 12{,}5\%{\small .}\) Ответ дайте в c-1.
Сначала упростим соотношение для амплитуды колебаний маятника – избавимся от знака модуля.
Поскольку в задаче рассматриваются частоты \(\displaystyle \omega{ \small ,}\) меньшие резонансной частоты \(\displaystyle \omega_p{ \small ,}\) то
\(\displaystyle \omega_p > \omega { \small ,}\)
\(\displaystyle \omega_p^2 > \omega ^2 { \small ,}\)
\(\displaystyle \omega_p^2 - \omega ^2 >0{\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle |\omega_p^2 - \omega ^2|=\omega_p^2 - \omega ^2{\small .}\)
И тогда формула для амплитуды колебаний принимает вид
\(\displaystyle A(\omega ) = \frac{{A_0 \omega _p^2 }}{\omega_p^2 - \omega ^2}{\small .}\)
Подставим в формулу известную величину \(\displaystyle \color{blue}{\omega_p}=\color{blue}{360}\):
\(\displaystyle A(\omega ) = \frac{{A_0 \cdot \color{blue}{360}^2 }}{\color{blue}{360}^2 - \omega ^2}{\small .}\)
По условию амплитуда колебаний \(\displaystyle A(\omega )\) превосходит величину \(\displaystyle A_0 \) не более чем на \(\displaystyle 12{,}5\%{\small .}\) То есть, записывая в виде формулы,
\(\displaystyle A(\omega ) \quad\leq\quad A_0+12{,}5\% \text{ от }A_0{\small .}\)
\(\displaystyle 12{,}5 \% \) величины \(\displaystyle A_0 \) составляет величина
\(\displaystyle \frac{12{,}5}{100}A_0=\frac{125}{1000}A_0=\frac{A_0}{8}{\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle A(\omega )\leq A_0+\frac{A_0}{8}{ \small ,}\)
\(\displaystyle A(\omega )\leq \frac{9A_0}{8}{\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle A(\omega )=\frac{{A_0 \cdot {360}^2 }}{{360}^2 - \omega ^2}{ \small ,} \) то получаем неравенство
\(\displaystyle \frac{{A_0 \cdot {360}^2 }}{{360}^2 - \omega ^2} \leq \frac{9A_0}{8}{\small .}\)
Решим это неравенство.
Разделим обе части неравенства на \(\displaystyle {A_0}{\small .}\) Поскольку \(\displaystyle A_0 >0{ \small ,}\) знак неравенства не меняется:
\(\displaystyle \frac{{A_0 \cdot {360}^2 }}{{360}^2 - \omega ^2} \leq \frac{9A_0}{8} \, \Big| : \color{red}{A_0}{\small .}\)
\(\displaystyle \frac{ {360}^2 }{{360}^2 - \omega ^2} \leq \frac{9}{8} {\small .}\)
Домножим обе части неравенства на \(\displaystyle 8({360}^2 - \omega ^2){\small .}\) Поскольку \(\displaystyle 8({360}^2 - \omega ^2) >0{ \small ,}\) знак неравенства не меняется:
\(\displaystyle \frac{ {360}^2 }{{360}^2 - \omega ^2} \leq \frac{9}{8} \, \Big| \cdot \color{red}{8({360}^2 - \omega ^2)}{ \small ,}\)
\(\displaystyle { 8\cdot {360}^2 } \leq {9({360}^2 - \omega ^2}){\small .}\)
Преобразуем неравенство. Раскроем скобки и перенесем неизвестное в левую часть, а известное – в правую:
\(\displaystyle { 8\cdot {360}^2 } \leq {9\cdot {360}^2 - 9\omega ^2}{ \small ,}\)
\(\displaystyle 9\omega ^2 \leq {9\cdot{360}^2 - 8\cdot {360}^2 }{ \small ,}\)
\(\displaystyle 9\omega ^2 \leq {360^2}{\small .}\)
Упрощая, получаем:
\(\displaystyle \omega ^2 \leq \frac{{360^2}}{9}{ \small ,}\)
\(\displaystyle \omega ^2 \leq \frac{{360^2}}{3^2}{ \small ,}\)
\(\displaystyle \omega ^2 \leq {120^2}{\small .}\)
Перенесем все в левую часть и разложим на множители разность квадратов:
\(\displaystyle \omega ^2 - {120^2} \leq 0 { \small ,}\)
\(\displaystyle (\omega - 120)(\omega + 120) \leq 0 {\small .}\)
Разделим обе части неравенства на \(\displaystyle \omega + 120{\small .}\) Так как \(\displaystyle \omega + 120 >0{ \small ,}\) то знак неравенства сохраняется без изменений. Получаем:
\(\displaystyle (\omega - 120)(\omega + 120) \leq 0 \,|\, : \, (\color{red}{\omega + 120}) { \small ,}\)
\(\displaystyle \omega - 120 \leq 0 { \small ,}\)
\(\displaystyle \omega \leq 120 {\small .}\)
Тогда наибольшее допустимое значение \(\displaystyle \omega \) составит \(\displaystyle 120\) c-1.
Ответ: \(\displaystyle 120{\small .}\)