Skip to main content

Теория: 02 Решение квадратичных неравенств методом интервалов (в стадии наполнения)

Задание

Используя метод интервалов, решите неравенство:

\(\displaystyle x^2<8x-16{\small .}\)

\(\displaystyle x\in\) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Чтобы решить неравенство методом интервалов, преобразуем неравенство так, чтобы с одной стороны был ноль:

\(\displaystyle x^2<8x-16{ \small ,}\)

\(\displaystyle x^2-8x+16<0{\small .}\)


Далее найдем все корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2-8x+16=0{\small .}\)

\(\displaystyle x=4\) двукратный корень уравнения \(\displaystyle x^2-8x+16=0\)


Отметим найденный корень на числовой прямой, выкалывая его (так как знак неравенства строгий):

Получаем два интервала:

\(\displaystyle (-\infty;4)\) и \(\displaystyle (4;+\infty){\small .}\)


Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=x^2-8x+16\) в каждом из данных интервалов.

Для интервала \(\displaystyle (-\infty;4)\) выберем \(\displaystyle x=0 \in (-\infty;4){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=0{ \small :}\)

\(\displaystyle f(0)=0^2-8\cdot 0+16>0{\small .}\)

Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;4){\small :}\)


Для интервала \(\displaystyle (4;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=10 \in (4;+\infty){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=10 { \small :}\)

\(\displaystyle f(10)=10^2-8\cdot 10 +16>0{\small .}\)

Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (4;+\infty){\small :}\)


Так как решения неравенства  \(\displaystyle x^2-8x+16<0\) соответствуют промежуткам, где функция \(\displaystyle f(x)=x^2-8x+16\) отрицательна, а таких промежутков нет, то решений нет.

Ответ: \(\displaystyle x \in \{\varnothing\}{\small .}\)