Skip to main content

Теория: 02 Решение квадратичных неравенств методом интервалов (в стадии наполнения)

Задание

Используя метод интервалов, решите неравенство:

\(\displaystyle x^2-2x\ge-10{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Чтобы решить неравенство методом интервалов, преобразуем неравенство так, чтобы с одной стороны был ноль:

\(\displaystyle x^2-2x\ge -10{ \small ,}\)

\(\displaystyle x^2-2x+10\ge 0{\small .}\)

Так как для квадратного уравнения \(\displaystyle x^2-2x+10=0\) дискриминант \(\displaystyle {\rm D}=(-2)^2-4\cdot 10=-36<0\) отрицателен, то уравнение не имеет решений в действительных числах.

Значит, нужно рассматривать всю числовую ось:

Получаем один интервал:

\(\displaystyle (-\infty;+\infty){\small .}\)

При этом на всей числовой прямой функция \(\displaystyle f(x)=x^2-2x+10\)  будет иметь один знак.


Выберем любую точку на прямой и определим знак функции в данной точке. Наиболее удобно выбрать \(\displaystyle x=0{\small :}\)

\(\displaystyle f(0)=0^2-2\cdot 0+10>0{\small .}\)

Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;+\infty){\small :}\)


Так как решения неравенства  \(\displaystyle x^2-2x+10\ge 0\) соответствуют промежуткам, где функция \(\displaystyle f(x)=x^2-2x+10\) положительна, и граничным точкам интервалов (в нашем случае граничных точек нет), то решением будут все числа, то есть

\(\displaystyle (-\infty;+\infty)\) – искомое решение.

Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;+\infty){\small .}\)