Skip to main content

Теория: 04 Буквенные выражения (иррациональные)

Задание

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{9 a^{\frac{13}{5}}+a^{\frac{6}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}-a^{\frac{3}{5}}\) при \(\displaystyle a =\sqrt{6}{\small .}\)

Решение

Решение 1.

Приведем к общему знаменателю:

\(\displaystyle \frac{9 a^{\frac{13}{5}}+a^{\frac{6}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}-a^{\frac{3}{5}}=\frac{9 a^{\frac{13}{5}}+a^{\frac{6}{5}}-a^{\frac{3}{5}} \cdot a^{\frac{3}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}{\small .}\)


Применим свойство \(\displaystyle a^x\cdot a^y=a^{x+y}{\small .}\)

\(\displaystyle \frac{9 a^{\frac{13}{5}}+a^{\frac{6}{5}}-a^{\color{blue}{\frac{3}{5}}} \cdot a^{\color{blue}{\frac{3}{5}}}}{a^{\frac{3}{5}}}=\frac{9 a^{\frac{13}{5}}+a^{\frac{6}{5}}-a^{\color{blue}{\frac{3}{5}+\frac{3}{5}}}}{a^{\frac{3}{5}}}=\frac{9 a^{\frac{13}{5}}+a^{\frac{6}{5}}-a^{\color{blue}{\frac{6}{5}}}}{a^{\frac{3}{5}}}{\small .}\)


Приведем в числителе подобные слагаемые:

\(\displaystyle \frac{9 a^{\frac{13}{5}}+\, \cancel{a^{\frac{6}{5}}}-\, \cancel{a^{\frac{6}{5}}}}{a^{\frac{3}{5}}}=\frac{9 a^{\frac{13}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}{\small .}\)


Применим свойство деления степеней \(\displaystyle a^x: a^y=a^{x-y}{:}\)

\(\displaystyle \frac{9 a^{\frac{13}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}=9a^{\frac{13}{5}-\frac{3}{5}}=9a^2{\small .}\)


Таким образом, верна следующая цепочка равенств:

\(\displaystyle \frac{9 a^{\frac{13}{5}}+a^{\frac{6}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}-a^{\frac{3}{5}}=\frac{9 a^{\frac{13}{5}}+a^{\frac{6}{5}}-a^{\frac{6}{5}} }{a^{\frac{3}{5}}}=\frac{9 a^{\frac{13}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}=9a^2 {\small .}\)


Подставим заданное в условии значение  \(\displaystyle a =\sqrt{6}{\small .}\)

\(\displaystyle 9a^2=9(\sqrt{6})^2=9\cdot 6=54{\small .}\)


Ответ: \(\displaystyle 54 {\small.} \)
 

Решение 2.

Разделим каждое слагаемое в числителе дроби на знаменатель \(\displaystyle a^{\frac{3}{5}}{:}\)

\(\displaystyle \frac{9 a^{\frac{13}{5}}+a^{\frac{6}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}-a^{\frac{3}{5}}=\frac{9 a^{\frac{13}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}+\frac{a^{\frac{6}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}-a^{\frac{3}{5}}{\small .}\)


Применим для обеих дробей свойство деления степеней \(\displaystyle a^x: a^y=a^{x-y}{:}\)

\(\displaystyle \frac{9 a^{\frac{13}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}+\frac{a^{\frac{6}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}-a^{\frac{3}{5}}=9 a^{\frac{13}{5}-\frac{3}{5}}+a^{\frac{6}{5}-\frac{3}{5}}-a^{\frac{3}{5}}=9 a^2+a^{\frac{3}{5}}-a^{\frac{3}{5}}{\small .}\)


Приведем подобные слагаемые:

\(\displaystyle 9 a^2+ \, \cancel{a^{\frac{3}{5}}}-\, \cancel{a^{\frac{3}{5}}}=9 a^2{\small .}\)


Таким образом, верна следующая цепочка равенств:

\(\displaystyle \frac{9 a^{\frac{13}{5}}+a^{\frac{6}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}-a^{\frac{3}{5}}=\frac{9 a^{\frac{13}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}+\frac{a^{\frac{6}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}-a^{\frac{3}{5}}=9 a^2+a^{\frac{3}{5}}-a^{\frac{3}{5}}=9 a^2{\small .}\)


Подставим заданное в условии значение  \(\displaystyle a =\sqrt{6}{\small .}\)

\(\displaystyle 9a^2=9(\sqrt{6})^2=9\cdot 6=54{\small .}\)


Ответ: \(\displaystyle 54 {\small.} \)