Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна \(\displaystyle 8.\)
Первый способ решения задачи
Пусть \(\displaystyle AB=BC=x\) – сторона квадрата.
Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABC \small{:}\)
Поскольку \(\displaystyle \angle ABC = 90^{\circ},\) то \(\displaystyle ABC\) – прямоугольный треугольник с гипотенузой \(\displaystyle AC.\)
По теореме Пифагора, \(\displaystyle AC^2=AB^2 + BC^2.\)
Значит,
\(\displaystyle 8^2=x^2 + x^2,\)
\(\displaystyle 64=2x^2 \, | :\color{red}{2},\)
\(\displaystyle x^2=32.\)
Так как длина отрезка положительна, то \(\displaystyle x=\sqrt {32}.\)
Площадь квадрата равна \(\displaystyle S=AB^2.\)
Значит,
\(\displaystyle S=\left(\sqrt{32}\right)^2 =32.\)
Ответ: \(\displaystyle 32{\small .}\)
Второй способ решения задачи
Воспользуемся одной из формул для вычисления площади квадрата.
Формула площади квадрата
\(\displaystyle S=\frac{1}{2} d^2 ,\)
где \(\displaystyle d\) – диагональ квадрата.
Тогда
\(\displaystyle S=\frac{1}{2}\cdot 8^2=\frac{1}{2}\cdot 64= 32.\)
Ответ: \(\displaystyle 32{\small .}\)