Skip to main content

Теория: Логарифмические выражения (определение логарифма) (в стадии наполнения)

Задание

Найдите значение выражения:

\(\displaystyle 2^{\log_2 {6}}+36^{\log_6 {\sqrt{12}}}= \)

Решение

Найдем значение первого слагаемого \(\displaystyle 2^{\log_2 {6}}{\small.}\) 

Применим основное свойство логарифма:

Правило

\(\displaystyle \color{red}a^{\log_{\color{red}a} {\color{blue}{b}}}=\color{blue}{b} \)             \(\displaystyle (b>0,a>0,a \, \cancel= \,1 )\)

Тогда

\(\displaystyle 2^{\log_2 {6}}=6{\small.}\)


Найдем значение второго слагаемого \(\displaystyle 36^{\log_6 {\sqrt{12}}}{\small.}\)

У степени и логарифма разные основания, однако они связаны друг с другом: \(\displaystyle 36=6^2{\small.}\)

Тогда:

\(\displaystyle 36^{\color{green}{\log_6 {\sqrt{12}}}}=\left(6^\color{blue}{2}\right)^{\color{green}{\log_6 \sqrt{12}}}=6^{\color{blue}{2} \cdot \color{green}{\log_6 {\sqrt{12}}}} =6^{ \color{green}{(\log_6 \sqrt{12}) \cdot \color{blue}{2}}}=\left(6^{\color{green}{\log_6 \sqrt{12} }} \right)^{\color{blue}{2}}=\left(\color{green}{ \sqrt{12} } \right)^{\color{blue}{2}}=12.\)


Таким образом, 

\(\displaystyle 2^{\log_2 {6}}+36^{\log_6 {\sqrt{12}}}=6+12=18 \)


Ответ: \(\displaystyle 18 {\small.} \)