Skip to main content

Теория: Логарифмические выражения (определение логарифма) (в стадии наполнения)

Задание

Найдите значение выражения:

\(\displaystyle 16^{\log_2 {3}\,-\,\frac{1}{2}}= \)

Решение

В показателе степени \(\displaystyle 16^{\log_2 {3}\,-\,\frac{1}{2}}\) стоит разность.

Применим свойство деления степеней (если показатели вычитаются, значит, степени делились):

Правило

\(\displaystyle a^{\color{red}n} : a^{\color{blue}{m}}=a^{\color{red}n-\color{blue}{m}}\)

или

\(\displaystyle a^{\color{red}n-\color{blue}{m}}=a^{\color{red}n} : a^{\color{blue}{m}}\)

Тогда:

\(\displaystyle 16^{\log_2 {3}\,-\,\frac{1}{2}}=16^{\log_2 {3}}:16^{\frac{1}{2}}{\small.}\)


В выражении \(\displaystyle 16^{\log_2 {3}}\) разные основания у степени и у логарифма, однако они связаны друг с другом:

\(\displaystyle 16=2^4 {\small.}\)

Используем это:

\(\displaystyle 16^{\log_2 {3}}= (2^4)^{\log_2 {3}}=(2^{\log_2 {3}})^4{\small.}\)


Применим основное свойство логарифма:

Правило

\(\displaystyle \color{red}a^{\log_{\color{red}a} {\color{blue}{b}}}=\color{blue}{b} \)             \(\displaystyle (b>0,a>0,a \, \cancel= \,1 )\)

В нашем случае:

\(\displaystyle 2^{\log_2 {3}}=3 {\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle (2^{\log_2 {3}})^4=3^4=81 {\small.}\)


Найдем значение делителя:

\(\displaystyle 16^{\frac{1}{2}}=\sqrt{16}=4 {\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle 16^{\log_2 {3}}:16^{\frac{1}{2}}=81:4=20{,}25 {\small.} \)


Таким образом, верна следующая цепочка равенств:

\(\displaystyle 16^{\log_2 {3}\,-\,\frac{1}{2}}=16^{\log_2 {3}}:16^{\frac{1}{2}}= (2^4)^{\log_2 {3}}:\sqrt{16}=(2^{\log_2 {3}})^4:4=3^4 : 4=81:4=20{,}25{\small.}\)


Ответ: \(\displaystyle 20{,}25 {\small.} \)