На рисунке изображен график функции \(\displaystyle y = f(x){ \small ,}\) определенной на интервале \(\displaystyle (−5; 6){\small .}\) Найдите количество точек, принадлежащих отрезку \(\displaystyle [-2;\,4]{\small,}\) в которых касательная к графику функции параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
Воспользуемся правилом:
Две прямые, заданные уравнениями
\(\displaystyle y=\color{red}{k_1}x+b_1\) и \(\displaystyle y=\color{red}{k_2}x+b_2{\small,}\)
параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны:
\(\displaystyle \color{red}{k_1}=\color{red}{k_2}{\small.}\)
Рассмотрим угловой коэффициент касательной и угловой коэффициент прямой, параллельной оси абсцисс.
Чтобы прямые были параллельны, угловые коэффициенты должны быть равны:
\(\displaystyle f^{\prime}(x_0)=0{\small.}\)
Для функции, данной в условии задачи, \(\displaystyle f^{\prime}(x)=0\) только в точках экстремума.
Поэтому найдем по рисунку количество точек экстремума \(\displaystyle f(x){\small,}\) принадлежащих отрезку \(\displaystyle [-2;\,4]{\small:}\)
Получаем \(\displaystyle 3\) точки экстремума (\(\displaystyle 1\) максимум и \(\displaystyle 2\) минимума) на отрезке \(\displaystyle [-2;\,4]{\small.}\)
Значит, имеется всего \(\displaystyle 3\) точки, принадлежащих отрезку \(\displaystyle [-2;\,4]{\small,}\) в которых касательная параллельна оси абсцисс.
Ответ: \(\displaystyle 3 {\small.}\)