Skip to main content

Теория: 11 Свойства ромба

Задание

Диагонали ромба относятся как \(\displaystyle 3 : 4.\) Сторона ромба \(\displaystyle 10.\) Найдите длину меньшей диагонали.

Решение

Пусть \(\displaystyle BD:AC=3:4.\) Это означает, что если мы разделим отрезок  \(\displaystyle BD\) на \(\displaystyle 3\) равные части, то отрезок \(\displaystyle AC\)  можно разделить на \(\displaystyle 4\) таких же части. 

Обозначим через \(\displaystyle x\) длину одной части. Тогда  \(\displaystyle BD=3x,\) а \(\displaystyle AC=4x.\)

 

Пусть \(\displaystyle O\) – точка пересечения диагоналей ромба \(\displaystyle ABCD.\)

По свойству параллелограмма, диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит,

\(\displaystyle AO=OC=2x\) и \(\displaystyle BO=OD=\frac{3x}{2}.\)


По свойству ромба, диагонали перпендикулярны.

Значит, угол \(\displaystyle AOB\) –  прямой. 

В прямоугольном треугольнике \(\displaystyle AOB\) по теореме Пифагора

\(\displaystyle AB^2=AO^2+OB^2.\)

Тогда

\(\displaystyle (10)^2=(2x)^2+\left(\frac{3x}{2}\right)^2,\)

 

\(\displaystyle 100=4x^2+\frac{9x^2}{4},\)

 

\(\displaystyle 100=\frac{16x^2+9x^2}{4},\)

 

\(\displaystyle 100=\frac{25x^2}{4}.\)

Получаем:

\(\displaystyle x^2=\frac{100\cdot 4}{25},\)

 

\(\displaystyle x^2=16.\)

Поскольку длина отрезка положительна, то 

\(\displaystyle x=4.\)

Тогда  \(\displaystyle BD=3x=12.\)
 

Ответ: \(\displaystyle 12 {\small .}\)