Точка \(\displaystyle O\) – точка пересечения диагоналей \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) ромба \(\displaystyle ABCD{\small.}\) Найдите сторону ромба, если площадь треугольника \(\displaystyle ABO \) равна \(\displaystyle 5{\small,}\) а синус острого угла ромба составляет \(\displaystyle 0{,}2{\small.}\)
По свойству ромба диагонали \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) перпендикулярны, по свойству параллелограмма они делятся пополам точкой \(\displaystyle O{\small.}\) Тогда прямоугольные треугольники \(\displaystyle AOB{\small,}\) \(\displaystyle COB{\small,}\) \(\displaystyle COD\) и \(\displaystyle AOD\) равны по двум катетам.
Значит, у треугольников \(\displaystyle AOB{\small,}\) \(\displaystyle BOC{\small,}\) \(\displaystyle COD\) и \(\displaystyle DOA\) равные площади и
\(\displaystyle S_{ABCD}={4} S_{ABO}=4 \cdot 5=20 {\small.}\)
Поскольку площадь ромба равна произведению квадрата стороны и синуса угла между сторонами
\(\displaystyle S_{ромб}=a^2 \sin \alpha {\small,}\)
где \(\displaystyle a\) – сторона, \(\displaystyle \alpha\) – острый угол ромба, то получаем
\(\displaystyle 20=a^2 \cdot 0{,}2{\small,}\)
\(\displaystyle a^2 =\frac{20}{0{,}2}{\small,}\)
\(\displaystyle a^2 ={100}{\small.}\)
Поскольку длина отрезка положительна, то
\(\displaystyle a=10{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 10 {\small .}\)
