Точка \(\displaystyle O\) – точка пересечения диагоналей \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) ромба \(\displaystyle ABCD.\) Найдите сторону ромба, если площадь треугольника \(\displaystyle ABO \) равна \(\displaystyle 5,\) а синус острого угла ромба составляет \(\displaystyle 0{,}2.\)
По свойству ромба диагонали \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) перпендикулярны, по свойству параллелограмма они делятся пополам точкой \(\displaystyle O.\) Тогда прямоугольные треугольники \(\displaystyle AOB,\) \(\displaystyle COB,\) \(\displaystyle COD\) и \(\displaystyle AOD\) равны по двум катетам.
Значит, у треугольников \(\displaystyle AOB,\) \(\displaystyle BOC,\) \(\displaystyle COD\) и \(\displaystyle DOA\) равные площади и
\(\displaystyle S_{ABCD}={4} S_{ABO}=4 \cdot 5=20 .\)
Поскольку площадь ромба равна произведению квадрата стороны и синуса угла между сторонами
\(\displaystyle S_{ромб}=a^2 \sin \alpha ,\)
где \(\displaystyle a\) – сторона, \(\displaystyle \alpha\) – острый угол ромба, то получаем
\(\displaystyle 20=a^2 \cdot 0{,}2,\)
\(\displaystyle a^2 =\frac{20}{0{,}2},\)
\(\displaystyle a^2 ={100}.\)
Поскольку длина отрезка положительна, то
\(\displaystyle a=10.\)
Ответ: \(\displaystyle 10 {\small .}\)
