Skip to main content

Теория: 08 Ромб (комбинированные задачи)

Задание

Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до его стороны, если сторона ромба равна \(\displaystyle 8,\) а острый угол равен \(\displaystyle 30^\circ.\)

2
Решение

Пусть \(\displaystyle ABCD\) – ромб, \(\displaystyle O\) – точка пересечения его диагоналей \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD.\) В задаче требуется найти длину отрезка \(\displaystyle OK.\) 

План решения задачи

1. Найдем площадь ромба.

2. Найдем площадь треугольника \(\displaystyle AOB.\)

3. Найдем длину отрезка \(\displaystyle OK.\) 

 

1. Поскольку площадь ромба равна произведению квадрата стороны и синуса угла между сторонами

\(\displaystyle S_{ромб}=a^2 \sin \alpha ,\)

то

\(\displaystyle S_{ромб}=8^2 \cdot \sin 30^{\circ}=64 \cdot \frac{1}{2}= 32.\)

 

2. По свойству ромба диагонали \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) перпендикулярны, по свойству параллелограмма они делятся пополам точкой \(\displaystyle O.\) Тогда прямоугольные треугольники  \(\displaystyle AOB,\) \(\displaystyle COB,\) \(\displaystyle COD\) и \(\displaystyle AOD\) равны по двум катетам.

Значит, у треугольников \(\displaystyle AOB,\) \(\displaystyle BOC,\) \(\displaystyle COD\) и \(\displaystyle DOA\) равные площади и 

\(\displaystyle S_{ABO}=\frac{1}{4} S_{ABCD}=\frac{1}{4} \cdot 32= 8 .\) 

 

3.  \(\displaystyle OK\) – высота треугольника  \(\displaystyle AOB.\)

Поскольку площадь треугольника \(\displaystyle AOB\) равна половине произведения основания на высоту

\(\displaystyle S_{ABO}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot OK ,\) 

то

\(\displaystyle 8=\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot OK ,\) 

\(\displaystyle 8=4 \cdot OK ,\) 

\(\displaystyle OK=\frac{8}{4}=2 .\) 

Ответ: \(\displaystyle 2 {\small .}\)