Skip to main content

Теория: Тригонометрия (формулы приведения)

Задание

Найдите значение выражения:

\(\displaystyle \frac{12}{ \sin^2 37^\circ + \sin^2 127^\circ}=\)

Решение

В данном выражении \(\displaystyle \frac{12}{ \sin^2 37^\circ + \sin^2 127^\circ}\) два разных угла.

Найдем между ними взаимосвязь: у них может быть хорошая сумма или хорошая разность (то есть равная \(\displaystyle 90^ \circ,\) \(\displaystyle 180^ \circ,\) \(\displaystyle 270^ \circ,\) \(\displaystyle 360^ \circ\) и т.п.).


В нашем случае у углов хорошая разность: \(\displaystyle 127^ \circ-37^ \circ=\color{blue}{90^ \circ}{\small.}\)

Отсюда: \(\displaystyle \color{blue}{127^ \circ=90^ \circ+37^ \circ} {\small .}\)

Тогда:

 \(\displaystyle \frac{12}{ \sin^2 37^\circ + \sin^2 \color{blue}{127^\circ}}=\frac{12}{ \sin^2 37^\circ + \sin^2 (\color{blue}{90^\circ+37^\circ})}{\small.}\)


Получилась формула приведения. Применим ее.

Подсказка - алгоритм применения формулы приведения

1. Определим, в какой четверти находится угол \(\displaystyle 90^ \circ+37^ \circ {:}\)

Значит, угол \(\displaystyle 90^ \circ+37^ \circ \) находится во второй четверти.


2. Определим знак исходной функции.

Во второй четверти синус положительный. (\(\displaystyle {\bf +}\)). 


3. Определим, какая будет функция.

Так как к аргументу \(\displaystyle 37^ \circ\) прибавляем \(\displaystyle 90^ \circ, \) то функция меняется

 Значит, 

\(\displaystyle \sin (90^\circ+37^\circ)=\cos 37^\circ{\small.}\)


Получаем:

 \(\displaystyle \frac{12}{ \sin^2 37^\circ + \color{blue}{\sin^2 (90^\circ+37^\circ)}}=\frac{12}{ \sin^2 37^\circ +\color{blue}{ \cos^2 37^\circ}}{\small.}\)


Используем формулу

Правило

\(\displaystyle \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha=1 \)

Получаем:

  \(\displaystyle \frac{12}{ \color{blue}{\sin^2 37^\circ + \cos^2 37^\circ}}=\frac{12}{\color{blue}1}=12{\small.}\)


Таким образом, верна следующая цепочка равенств:

  \(\displaystyle \frac{12}{ \sin^2 37^\circ + \sin^2 127^\circ}=\frac{12}{ \sin^2 37^\circ + \sin^2 (90^\circ+37^\circ)}=\frac{12}{ \sin^2 37^\circ + \cos^2 37^\circ}=\frac{12}{1}=12{\small.}\)

 
Ответ: \(\displaystyle 12 {\small.} \)