Skip to main content

Теория: 04 Максимум и минимум (тригонометрические функции)

Задание

Найдите наименьшее значение функции \(\displaystyle f(x)=5\tg x-10x+2{,}5\pi -4\) на отрезке \(\displaystyle \left[-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}\right]{\small.}\)

1
Решение

Запишем область определения для функции \(\displaystyle f(x)=5\tg x-10x+2{,}5\pi -4{\small.}\)

Так как \(\displaystyle \tg x\) определен только тогда, когда \(\displaystyle x\,\cancel{=}\,\frac{\pi}{2}+\pi m{\small,}\,\,m\in\mathbb{Z}{\small,}\) то область определения имеет вид

\(\displaystyle x\,\cancel{=}\,\frac{\pi}{2}+\pi m{\small.}\)

1) Найдем производную функции \(\displaystyle f(x)=5\tg x-10x+2{,}5\pi -4{\small.}\)

\(\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(5\text{tg} x-10x+2{,}5\pi -4\right)^{\prime}=\frac{5}{\cos^2 x}-10{\small.}\)

Перепишем \(\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{5}{\cos^2 x}-10\) в виде дроби:

\(\displaystyle \frac{5}{\cos^2 x}-10=\frac{5-10\cos^2 x}{\cos^2 x}{\small.}\)

2) Найдем корни числителя и знаменателя \(\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{5-10\cos^2 x}{\cos^2 x}{\small.}\)

\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{4}+2\pi n_1{\small,}\) \(\displaystyle x_2=\frac{3\pi}{4}+2\pi n_2{\small,}\) \(\displaystyle x_3=-\frac{\pi}{4}+2\pi n_3{\small,}\) \(\displaystyle x_4=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n_4{\small,}\) где \(\displaystyle n_1{\small,}\,n_2{\small,}\,n_3{\small,}\,n_4 \in \mathbb{Z}\) корни числителя \(\displaystyle f^{\prime}(x){\small.}\)

\(\displaystyle x_5=\frac{\pi}{2}+2\pi k{\small,}\,\, k \in \mathbb{Z}\) и \(\displaystyle x_6=-\frac{\pi}{2}+2\pi l{\small,}\,\, l \in \mathbb{Z}\) корни знаменателя \(\displaystyle f^{\prime}(x){\small.}\)

3) Из корней числителя и знаменателя \(\displaystyle f^{\prime}(x)\) выберем корни, лежащие на отрезке \(\displaystyle \left[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi }{3}\right]{\small.}\)

\(\displaystyle x=\frac{\pi}{4}\) и \(\displaystyle x=-\frac{\pi}{4}\) корни, лежащие на отрезке \(\displaystyle \text{\LARGE [}-\frac{\pi}{3};\frac{\pi }{3}\text{\LARGE ]}{\small.}\)

4) Отметим на числовой прямой корни числителя и знаменателя производной. Учитывая область определения функции \(\displaystyle f(x){\small,}\) получаем:

Так как ищется наименьшее значение функции на отрезке \(\displaystyle \left[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi }{3}\right]{\small ,}\) то получаем:

Найдем знаки производной на интервалах \(\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2};\,-\frac{\pi}{4}\right){\small,}\) \(\displaystyle \left(-\frac{\pi}{4};\,\frac{\pi}{4}\right)\) и \(\displaystyle \left(\frac{\pi}{4};\, \frac{\pi}{2}\right){\small.}\)

  • на интервалах \(\displaystyle \color{green}{\left(-\frac{\pi}{2};\,-\frac{\pi}{4}\right)}\) и \(\displaystyle \color{blue}{\left(\frac{\pi}{4};\, \frac{\pi}{2}\right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small,}\)
  • на интервале \(\displaystyle \color{Purple}{\left(-\frac{\pi}{4};\,\frac{\pi}{4}\right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)<0{\small.}\)

Отмечая знаки производной на картинке, получаем:

Значит, и на интервалах \(\displaystyle {\left(-\frac{\pi}{3};\,-\frac{\pi}{4}\right)}\) и \(\displaystyle {\left(\frac{\pi}{4};\, \frac{\pi}{3}\right)}\) производная положительна:

5) Определим промежутки возрастания и убывания функции \(\displaystyle f(x)=5\tg x-10x+2{,}5\pi -4{\small ,}\) пользуясь правилом.

Правило

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\) существует и \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)>0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle \nearrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\) существует и \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)<0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) убывает \(\displaystyle \searrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Зная знаки производной \(\displaystyle f^{\prime}(x){\small,}\) определим промежутки возрастания и убывания \(\displaystyle f(x){\small:}\)


6) Схематично изобразим \(\displaystyle f(x)\) на отрезке \(\displaystyle \left[-\frac{\pi}{3};\,\frac{\pi }{3} \right]{\small:}\)

Видно, что на отрезке \(\displaystyle \left[-\frac{\pi}{3};\,\frac{\pi }{3} \right]\) функция достигает наименьшего значения либо в точке минимума \(\displaystyle \color{green}{x=\frac{\pi}{4}}{\small,}\) либо на левом конце в точке \(\displaystyle \color{blue}{x=-\frac{\pi}{3}}{\small.}\) 

Вычислим значения в этих точках и сравним:

\(\displaystyle f\left(\color{green}{\frac{\pi}{4}}\right)=5\tg \frac{\pi}{4}-10\cdot\frac{\pi}{4}+2{,}5\pi -4=5\cdot1-\cancel{2{,}5\pi}+\cancel{2{,}5\pi}-4=\color{green}{1}{\small,}\)

\(\displaystyle f\left(\color{blue}{-\frac{\pi}{3}}\right)=5\tg \left(-\frac{\pi}{3}\right)-10\cdot\left(-\frac{\pi}{3}\right)+2{,}5\pi -4=\color{blue}{5\tg \left(-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{35\pi}{6}-4}{\small.}\)

Используя формулы приведения и таблицу значений тангенса, вычислим \(\displaystyle \tg \left(-\frac{\pi}{3}\right){\small:}\)

\(\displaystyle \tg \left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\tg \left(\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}{\small.}\)

Значит, \(\displaystyle f\left(\color{blue}{-\frac{\pi}{3}}\right)=\color{blue}{5\tg \left(-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{35\pi}{6}-4}=\color{blue}{-5\sqrt{3}+\frac{35\pi}{6}-4}{\small.}\)

Так как \(\displaystyle \pi>3\) и \(\displaystyle \sqrt{3}<2{\small,}\) получаем:

\(\displaystyle \color{blue}{-5\sqrt{3}+\frac{35\pi}{6}-4}>-5\cdot2+\frac{35\cdot3}{6}-4=\frac{7}{2}=3{,}5>\color{green}{1}{\small.}\)

То есть \(\displaystyle f\left(\color{green}{\frac{\pi}{4}}\right)<f\left(\color{blue}{-\frac{\pi}{3}}\right){\small.}\)

Таким образом, наименьшее значение достигается в точке \(\displaystyle \color{green}{x=\frac{\pi}{4}}\) и оно равно \(\displaystyle {f\left(\color{green}{\frac{\pi}{4}}\right)}=\color{green}{1}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 1{\small.}\)