Skip to main content

Теория: 07 Логарифмическая функция (в стадии наполнения)

Задание

На рисунке изображён график функции \(\displaystyle f(x)=\log _{a} (x+b){\small .}\) Найдите значение \(\displaystyle x,\) при котором \(\displaystyle f(x)=4{\small .}\)
 


\(\displaystyle x=\)

Решение

Чтобы найти значения \(\displaystyle x{\small ,}\) при которых \(\displaystyle f(x)=4{ \small ,}\)

  • найдём неизвестные коэффициенты \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{ \small ,}\)
  • решим уравнение  \(\displaystyle \log _{a} (x+b)=4{ \small .}\)

Заметим, что на графике функции \(\displaystyle f(x)=\log _{a} (x+b)\) отмечены точки с координатами  \(\displaystyle (\color{blue}{-3};\color{blue}{1})\) и \(\displaystyle (\color{green}{-1};\color{green}{2}){ \small .}\)  

Значит,

  • при подстановке координат \(\displaystyle x=\color{blue}{-3}\) и \(\displaystyle y=\color{blue}{1}\) в уравнение \(\displaystyle y=\log _{a} (x+b)\) получим верное равенство;
  • при подстановке координат \(\displaystyle x=\color{green}{-1}\) и \(\displaystyle y=\color{green}{2}\) в уравнение \(\displaystyle y=\log _{a} (x+b)\) получим верное равенство.

Таким образом, получаем систему логарифмических уравнений:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{1}&=\log _{a} (\color{blue}{-3}+b){ \small ,}\\\color{green}{2}&=\log _{a} (\color{green}{-1}+b){ \small .}\end{aligned}\right. \)

Решим её.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ).

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} a &> 0{\small ,}\\a\,&\cancel{=}\, 1{\small ,}\\ -3+b&> 0{\small ,}\\ -1+b&> 0 \end{aligned} \right. \)   \(\displaystyle \Leftrightarrow\)   \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} a &> 0{\small ,}\\a\,&\cancel{=}\, 1{\small ,}\\ b&> 3{\small ,}\\ b&> 1 \end{aligned} \right. \)   \(\displaystyle \Leftrightarrow\) \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} a &> 0{\small ,}\\a\,&\cancel{=}\, 1{\small ,}\\ b&> 3 \end{aligned} \right. \) 

2. Преобразуем систему.

Воспользуемся основным свойством логарифма. Это можно сделать, так как на ОДЗ \(\displaystyle a>0{ \small ,}\, a\,\cancel{=}\, 1{ \small .}\)


\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} a^1&=a^{\log _{a} ({-3}+b)}{ \small ,}\\a^2&=a^{\log _{a} ({-1}+b)}{ \small .} \end{aligned}\right. \)

Окончательно имеем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} a^1&=-3+b{ \small ,}\\a^2&=-1+b{ \small .} \end{aligned}\right. \)

3. Решим полученную систему уравнений.

Из первого уравнения выразим \(\displaystyle b\) через \(\displaystyle a{ \small :}\)

\(\displaystyle b={a+3}.\)

Подставим вместо \(\displaystyle b\) во второе уравнение выражение \(\displaystyle b=\color{magenta}{a+3}{ \small .}\) 
Получим:

\(\displaystyle a^2=-1+\color{magenta}{a+3}{ \small .}\)

Таким образом, получили квадратное уравнение:

\(\displaystyle {a^2}-a-2=0{ \small .}\)

\(\displaystyle a_1=2\) и \(\displaystyle a_2=-1\) корни уравнения \(\displaystyle {a^2}-a-2=0\)

Найдём соответствующие значения \(\displaystyle b{\small :}\)

\(\displaystyle b_1=a_1+3=2+3=5{\small .}\)

\(\displaystyle b_2=a_1+3=-1+3=2{\small .}\)

То есть возможные решения исходной системы:

\(\displaystyle a_1=2{ \small ,}\) \(\displaystyle b_1=5\) и \(\displaystyle a_2=-1{ \small ,}\) \(\displaystyle b_2=2{ \small .} \)

4. Проверим, принадлежат ли найденные значения \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) ОДЗ.

\(\displaystyle a_1=2{\small:}\) \(\displaystyle 2>0\) верно и \(\displaystyle 2\,\cancel{=}\,1\) верно – удовлетворяет ОДЗ;

\(\displaystyle b_1=5{ \small :} \) \(\displaystyle 5>3\) верно удовлетворяет ОДЗ.

\(\displaystyle a_2=-1{ \small :} \) \(\displaystyle -1>0\) неверно  – не удовлетворяет ОДЗ.


Итак, 

 \(\displaystyle {a=2}\) и \(\displaystyle {b=5}\) – решение данной системы уравнений. 

 

Таким образом, исходная функция \(\displaystyle f(x)=\log _{a} (x+b)\) имеет вид:

\(\displaystyle f(x)=\log _{2} (x+5){\small . }\)

Найдём те значения \(\displaystyle x{ \small ,}\) при которых значения функции \(\displaystyle f(x)\) равны \(\displaystyle 4{ \small .}\)

Все такие \(\displaystyle x\) удовлетворяют уравнению

\(\displaystyle \log _{2} (x+5)=4{\small . } \)

По определению, \(\displaystyle \log_c v=u\) равносильно \(\displaystyle v=c^u{\small .} \)

Поэтому уравнение

\(\displaystyle \log _{2} (x+5)=4\) равносильно \(\displaystyle x+5=2^4{\small .}\)

То есть

\(\displaystyle x+5=16{\small ,} \)

\(\displaystyle x=11{\small . } \)

Ответ: \(\displaystyle x=11{\small .}\)