Skip to main content

Теория: 12 Трапеция (средняя линия)

Задание

Диагональ \(\displaystyle AC\) трапеции \(\displaystyle ABCD\) пересекает среднюю линию в точке \(\displaystyle T\small.\) Найдите отрезок \(\displaystyle AT\small,\) если \(\displaystyle AC=10\small.\)

5
Решение

Пусть \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD\) основания, \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) середины боковых сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) трапеции.

Тогда \(\displaystyle MN\) средняя линия трапеции, \(\displaystyle T\) точка ее пересечения с диагональю \(\displaystyle AC\small.\)

По свойству средней линии трапеции прямая \(\displaystyle MN\) параллельна прямым \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\small.\)

В треугольнике \(\displaystyle ACD\) отрезок \(\displaystyle TN\) параллелен стороне \(\displaystyle AD\) и проходит через середину стороны \(\displaystyle CD\small.\)

Воспользуемся следствием теоремы Фалеса.

Правило

Следствие теоремы Фалеса

Прямая, проходящая через середину стороны треугольника параллельно другой стороне, делит третью сторону треугольника пополам.

Если \(\displaystyle CN=ND\) и \(\displaystyle TN\parallel AD\small,\) то \(\displaystyle AT=TC\small.\)

По следствию теоремы Фалеса \(\displaystyle AT=TC\small,\) откуда \(\displaystyle AT=\frac{1}{2}\cdot AC=\frac{1}{2} \cdot 10 = 5\small.\)

Ответ: \(\displaystyle 5{\small .}\)

 

Замечание

В ходе решения задачи мы получили следующее свойство средней линии трапеции:

Правило

Свойство средней линии трапеции

Средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей трапеции:

точки \(\displaystyle T\) и \(\displaystyle W\) – середины диагоналей \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\small.\)