Skip to main content

Теория: 12 Трапеция (средняя линия)

Задание

Основания трапеции равны \(\displaystyle 4\) и \(\displaystyle 10\small.\) Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

5
Решение

Пусть \(\displaystyle BC=4\) и \(\displaystyle AD=10\) – основания, \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) – середины боковых сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\small.\) Тогда \(\displaystyle MN\) – средняя линия трапеции.

Проведем  диагональ \(\displaystyle AC\small,\) пусть \(\displaystyle T\) – точка ее пересечения со средней линией. 

По свойству средней линии трапеции прямая \(\displaystyle MN\) параллельна прямым \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\small.\)

В треугольнике \(\displaystyle ACD\) отрезок \(\displaystyle TN\) параллелен стороне \(\displaystyle AD\) и проходит через середину стороны \(\displaystyle CD\small.\)

Воспользуемся следствием теоремы Фалеса.

Правило

Следствие теоремы Фалеса

Прямая, проходящая через середину стороны треугольника параллельно другой стороне, делит третью сторону треугольника пополам.

Если \(\displaystyle CN=ND\) и \(\displaystyle TN\parallel AD\small,\) то \(\displaystyle AT=TC\small.\)

По следствию теоремы Фалеса \(\displaystyle AT=TC\small,\) откуда \(\displaystyle T\) – середина \(\displaystyle AC\small.\)

Тогда \(\displaystyle TN\) – средняя линиия треугольника \(\displaystyle ACD\small,\) и \(\displaystyle TM\) – средняя линия треугольника \(\displaystyle ACB\small.\)

По свойству средней линии треугольника

\(\displaystyle TN=\frac{1}{2} AD =\frac{1}{2} \cdot 10 = 5\) 

и

\(\displaystyle TM=\frac{1}{2} BC =\frac{1}{2} \cdot 4 = 2\small.\)

Значит, \(\displaystyle TN\) – больший из отрезков, на которые делит среднюю линию трапеции диагональ \(\displaystyle AC\small.\)

Ответ: \(\displaystyle 5{\small .}\)

 

Замечание

В ходе решения задачи мы получили следующее свойство средней линии трапеции:

Правило

Свойство средней линии трапеции

Средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей трапеции:

точки \(\displaystyle T\) и \(\displaystyle W\) – середины диагоналей \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\small.\)