Skip to main content

Теория: 10 Трапеция (свойства-2)

Задание

Основания равнобедренной трапеции равны \(\displaystyle 9\) и \(\displaystyle 21\small,\) а её боковые стороны равны \(\displaystyle 10\small.\) Найдите диагональ трапеции. 

17
Решение

Пусть \(\displaystyle AD=21\) и \(\displaystyle BC=9\) – основания, \(\displaystyle AB=CD=10\) – боковые стороны,  \(\displaystyle BH \) и \(\displaystyle CK \) – высоты  трапеции \(\displaystyle ABCD\small.\)

Поскольку основания трапеции параллельны, а высоты  трапеции перпендикулярны основаниям, \(\displaystyle BH K C \) – прямоугольник.

Тогда \(\displaystyle H K = BC= 9\small .\)

  

Прямоугольные треугольники \(\displaystyle ABH\) и \(\displaystyle DCK\) равны по гипотенузе \(\displaystyle AB=CD\) и катету \(\displaystyle BH=CK\small.\)

Значит \(\displaystyle AH=DK\) и 

\(\displaystyle \begin{aligned} AH&=DK=\frac{AD-BC}{2}=\\ \\ &=\frac{21-9}{2}=\frac{12}{2}=6\small. \end{aligned}\)

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle ABH \small.\)

Найдем высоту \(\displaystyle BH\) трапеции.

По теореме Пифагора

\(\displaystyle BH^2=AB^2-AH^2\small.\)

Значит, 

\(\displaystyle BH^2=10^2-6^2=100-36=64=8^2\small.\)

Поскольку длина отрезка положительна, то \(\displaystyle BH=8\small.\)

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle BHD \small.\)

Нам известны его катеты \(\displaystyle BH=8\) и

\(\displaystyle DH=DK+HK=6+9=15\small.\)

Найдем диагональ \(\displaystyle BD\) трапеции.

По теореме Пифагора

\(\displaystyle \begin{aligned}BD^2&=BH^2+DH^2=\\&=8^2+15^2=64+225=289=17^2\small.\end{aligned}\)

Поскольку длина отрезка положительна, то \(\displaystyle BD=17\small.\)

Ответ: \(\displaystyle 17{\small .}\)