Skip to main content

Теория: 10 Трапеция (свойства-2)

Задание

В трапеции \(\displaystyle ABCD\) известны основания \(\displaystyle AD=17\) и \(\displaystyle BC=3\small,\)  боковая сторона \(\displaystyle AB=8\sqrt{2}\) и угол \(\displaystyle \angle BAD=45^{\circ}\small.\) Найдите боковую сторону \(\displaystyle CD\) трапеции.

10
Решение

Проведем высоты \(\displaystyle BH=CK\) трапеции.

Поскольку основания трапеции параллельны, а высоты  трапеции перпендикулярны основаниям, \(\displaystyle BH K C \) – прямоугольник.

Тогда \(\displaystyle H K = BC= 3\small .\)

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle ABH\small.\)

Нам известны острый угол \(\displaystyle \angle BAH=45^{\circ}\) и гипотенуза \(\displaystyle AB=8\sqrt{2}\small.\) Тогда

\(\displaystyle \angle ABH=180^{\circ}-\angle BAH-\angle AHB=180^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}=45^{\circ}\small.\)

Так как \(\displaystyle \angle ABH=\angle BAH\small,\) то треугольник \(\displaystyle ABH\) равнобедренный, \(\displaystyle AH=BH\small.\)

 

Катет прямоугольного равнобедренного треугольника с гипотенузой \(\displaystyle 8\sqrt{2}\) равен \(\displaystyle 8\)

Получили \(\displaystyle AH=BH=8\small.\)

Тогда \(\displaystyle KD=AD-AH-HK=17-8-3=6\small.\) 

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle DCK\small.\)

Нам известны \(\displaystyle CK=8\) и \(\displaystyle DK=6\small.\) 

По теореме Пифагора

\(\displaystyle CD^2=CK^2+DK^2=\)

\(\displaystyle =8^2+6^2=64+36=100=10^2\small.\)

Поскольку длина отрезка положительна, то \(\displaystyle CD=10\small.\)

Ответ: \(\displaystyle 10 \small.\)