Skip to main content

Теория: 09 Тригонометрические функции

Задание

На рисунке изображён график функции \(\displaystyle f\left(x\right)=a\tg x +b{\small.}\) Найдите \(\displaystyle f(\pi ){\small.}\)
 


 

\(\displaystyle f(\pi)=\)

Решение

Чтобы найти \(\displaystyle f(\pi ){\small,}\) найдём сначала неизвестные коэффициенты \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small.}\)

Для этого составим систему уравнений относительно \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) и решим её.

Заметим, что точки, отмеченные на графике функции \(\displaystyle f(x)=a\tg x +b{ \small ,}\)
имеют координаты \(\displaystyle \Big(\color{blue}{0};\color{blue}{-\frac{3}{2}}\Big)\) и \(\displaystyle \Big(\color{green}{\frac{\pi}{4}};\color{green}{\frac{3}{2}}\Big){\small .}\)

 

Значит,

  • при подстановке координат \(\displaystyle x=\color{blue}{0}\) и \(\displaystyle y=\color{blue}{-\frac{3}{2}}\) в уравнение \(\displaystyle y=a\tg x +b\) получим верное равенство;
  • при подстановке координат \(\displaystyle x=\color{green}{\frac{\pi}{4}}\) и \(\displaystyle y=\color{green}{\frac{3}{2}}\) в уравнение \(\displaystyle y=a\tg x +b\) получим верное равенство.

Таким образом, получаем систему уравнений:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{-\frac{3}{2}}&=a\cdot \tg \color{blue}{0}+b{ \small ,}\\[5px]\color{green}{\frac{3}{2}}&=a\cdot \tg\color{green}{\frac{\pi}{4}}+b{ \small .}\end{aligned}\right. \)

Подставим вместо  \(\displaystyle \tg \color{blue}{0}\) и \(\displaystyle \tg\color{green}{\frac{\pi}{4}}\) их значения.

\(\displaystyle \text{tg} {0}=0\)

\(\displaystyle \text{tg}\frac{\pi}{4}=1\) 

Подставляя, получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}{-\frac{3}{2}}&=a\cdot 0+b{ \small ,}\\[5px]{\frac{3}{2}}&=a\cdot1+b\end{aligned}\right. \)

или

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}{-\frac{3}{2}}&=b{ \small ,}\\[5px]{\frac{3}{2}}&=a+b{ \small .}\end{aligned}\right. \)

Решим полученную систему уравнений.

Решение данной системы уравнений \(\displaystyle a=3\) и \(\displaystyle b=-\frac{3}{2}\)

Тогда исходная функция имеет вид:

\(\displaystyle f(x)=3\tg x - \frac{3}{2}{ \small .} \)

Найдём \(\displaystyle f(\pi){ \small :}\)

\(\displaystyle f(\pi)=3\tg \pi - \frac{3}{2}{ \small .} \)

\(\displaystyle \text{tg}\,{\pi}=0\)

Тогда

\(\displaystyle f(\pi)=3\tg \pi - \frac{3}{2}=3\cdot0- \frac{3}{2}=- \frac{3}{2}=-1{,}5{ \small .} \)
 

Ответ: \(\displaystyle f(\pi)=-1{,}5{ \small .}\)