Skip to main content

Теория: Демонстрационный вариант 2022 год (заданий 1-4)

Задание

Найдите \(\displaystyle 49\cos\, 2\alpha,\) если \(\displaystyle \cos \alpha = \frac{1}{7}{\small.}\)

Решение

Применим особый вариант формулы косинуса двойного угла

Правило

\(\displaystyle \cos\, 2\alpha=2\cos^2 \alpha - 1\)   

Памятка – три варианта формулы косинуса двойного угла 

Тогда:

\(\displaystyle 49\color{blue}{\cos\, 2\alpha}=49(\color{blue}{2\cos^2 \alpha - 1}){\small.}\)


Подставим данное в условии значение \(\displaystyle \cos \alpha = \frac{1}{7} :\)

\(\displaystyle 49(2\color{blue}{\cos^2 \alpha} - 1)=49\bigg(2 \cdot \color{blue}{\bigg(\frac{1}{7} \bigg)^2 } - 1 \bigg){\small.}\)


Найдем значение полученного выражения:

\(\displaystyle 49\bigg(2 \cdot \bigg(\frac{1}{7} \bigg)^2 - 1 \bigg)=49\bigg(2 \cdot \frac{1}{49} - 1 \bigg)=49\bigg( \frac{2}{49} - 1 \bigg)=49 \cdot \bigg( - \frac{47}{49} \bigg)=-47{\small.}\)


Таким образом, верна следующая цепочка равенств:

\(\displaystyle 49\cos\, 2\alpha=49(2\cos^2 \alpha - 1)=49\bigg(2 \cdot \bigg(\frac{1}{7} \bigg)^2 - 1 \bigg)=49\bigg( \frac{2}{49} - 1 \bigg)=49 \cdot \bigg( - \frac{47}{49} \bigg)=-47{\small.}\)


Ответ: \(\displaystyle -47 {\small.} \)