Skip to main content

Теория: Демонстрационный вариант 2022 год (заданий 1-4)

Задание

Найдите корень уравнения:

\(\displaystyle \sqrt{10x+141}=-3x+5{\small .}\)

\(\displaystyle x_1=\)
-2
\(\displaystyle x_2=\)

(если корень только один, то вторую ячейку оставьте пустой)

Решение

Правило

Иррациональное уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=g(x)\) равносильно системе

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=g(x)^2{ \small ,}\\g(x)&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Воспользуемся данным правилом для уравнения \(\displaystyle \sqrt{10x+141}=-3x+5{\small .}\)

Тогда уравнение \(\displaystyle \sqrt{10x+141}=-3x+5\) равносильно системе

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}10x+141&=(-3x+5)^2{ \small ,}\\-3x+5&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Решим первое уравнение в системе, и проверим, какие из полученных решений удовлетворяют второму неравенству системы.

Квадратное уравнение \(\displaystyle 10x+141=(-3x+5)^2\) имеет решения \(\displaystyle x_1=-2\) и \(\displaystyle x_2=\frac{58}{9}{\small .}\)

\(\displaystyle 10x+141=(-3x+5)^2{ \small ,}\)

\(\displaystyle 10x+141=9x^2-30x+25{ \small ,}\)

\(\displaystyle 9x^2-40x-116=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle D=(-40)^2-4\cdot 9\cdot (-116)=1600+4176=5776=76^{2}{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_1=\frac{40+\sqrt{5776}}{2\cdot 9}{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_2=\frac{40-\sqrt{5776}}{2 \cdot 9}{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_1=\frac{58}{9}{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_2=-2{\small .}\)

Корень \(\displaystyle x=\frac{58}{9}\) не удовлетворяет неравенству \(\displaystyle -3x+5\ge 0{ \small ,}\) так как 

\(\displaystyle -3\cdot \frac{58}{9}+5\ge 0{ \small ,}\)

\(\displaystyle -\frac{129}{9}\ge 0\) – неверно.

Корень \(\displaystyle x=-2\) удовлетворяет неравенству \(\displaystyle -3x+5\ge 0{ \small ,}\) так как 

\(\displaystyle -3\cdot (-2)+5\ge 0{ \small ,}\)

\(\displaystyle 11\ge 0{\small .}\)

Таким образом, \(\displaystyle x=-2\) – решение иррационального уравнения.

Ответ: \(\displaystyle -2{\small .}\)