Skip to main content

Теория: 07 Пирамида (площади поверхности)

Задание

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны \(\displaystyle 10{\small ,}\) площадь поверхности равна \(\displaystyle 25\sqrt{3}+180{\small .}\) Найдите апофему этой пирамиды. 

12
Решение

По условию задачи даны сторона основания \(\displaystyle a=10\) и площадь поверхности \(\displaystyle S=25\sqrt{3}+180 {\small .}\) 

Требуется найти апофему \(\displaystyle l{\small .}\)

В условии задачи дана площадь поверхности пирамиды. 

Воспользуемся формулой для вычисления площади полной поверхности пирамиды.

Правило

Площадь полной поверхности пирамиды

Площадь полной поверхности пирамиды \(\displaystyle S \) равна

\(\displaystyle S=S_{осн}+S_{бок} { \small ,} \)

где \(\displaystyle S_{осн} \) – площадь основания,

\(\displaystyle S_{бок}\) – площадь боковой поверхности пирамиды.

При этом:

  • площадь \(\displaystyle S\) известна;
  • площадь основания \(\displaystyle S_{осн}\) вычисляется через сторону основания, так как в основании лежит равносторонний треугольник;
  • площадь боковой поверхности \(\displaystyle S_{бок}\) вычисляется через апофему и ребро основания.

Поэтому для нахождения апофемы нужно:

1. Вычислить \(\displaystyle S_{осн}{\small .}\)

2. Выразить \(\displaystyle S_{бок}\) через \(\displaystyle l{\small ,}\)пользуясь тем, что \(\displaystyle S_{бок}=4S_{грани}\) и \(\displaystyle S_{грани}=\frac{1}{2}\cdot a \cdot l{ \small .}\) 

3. Найти \(\displaystyle l{\small ,}\) подставив \(\displaystyle S_{осн}\) и \(\displaystyle S_{бок}\) в формулу для \(\displaystyle S\small .\) 

 

1. Найдем площадь основания пирамиды.

\(\displaystyle S_{осн}=25\sqrt{3} \)

2. Выразим площадь боковой поверхности \(\displaystyle S_{бок}\) через апофему \(\displaystyle l{\small .}\)

\(\displaystyle S_{бок}=3S_{грани}=15\cdot l \)

3. Найдем \(\displaystyle l{\small ,}\) подставив \(\displaystyle S_{осн}\) и \(\displaystyle S_{бок}\) в формулу для \(\displaystyle S\small :\) 

\(\displaystyle S=S_{осн}+S_{бок} { \small ,} \)

\(\displaystyle 25\sqrt{3}+180=25\sqrt{3}+15\cdot l{ \small ,} \)

\(\displaystyle 15\cdot l=180 { \small ,} \)

\(\displaystyle l=12 { \small .} \)

Ответ: \(\displaystyle 12{\small .}\)