Skip to main content

Теория: 09 Комбинации круглых тел - 1 (в стадии наполнения)

Задание

Цилиндр, объем которого равен \(\displaystyle 33 {\small,}\) описан около шара. Найдите объем шара.

Решение

По условию цилиндр описан около шара.

Объем цилиндра известен. Требуется найти объем шара.

Введем обозначения:

  • \(\displaystyle r\) – радиус основания цилиндра,
  • \(\displaystyle h\) – высота цилиндра.

Радиусы шара и основания цилиндра совпадают, а высота цилиндра равна удвоенному радиусу:

 \(\displaystyle h=2r\)

Определение

Цилиндр описан вокруг шара, если шар касается касается оснований цилиндра и всех его образующих.

 

 

Рассмотрим осевое сечение \(\displaystyle AA_1B_1B \small .\)

Это прямоугольник, в который вписана окружность радиуса \(\displaystyle r \small .\)

Стороны прямоугольника равны между собой:

\(\displaystyle AB=AA_1=A_1B_1=BB_1=2r {\small .}\)

Значит, \(\displaystyle AA_1B_1B \) – квадрат со стороной \(\displaystyle 2r\small ,\) где \(\displaystyle r\) – радиус шара и оснований цилиндра. 

Поэтому высота цилиндра \(\displaystyle h=O_1O_2=2r\small .\)

Для нахождения объема шара воспользуемся формулой: 

\(\displaystyle V_ш=\frac {4}{3} \pi \cdot r^3 { \small ,}\)

где \(\displaystyle r\) –  радиус шара.

Значит, для вычисления объема шара необходимо знать \(\displaystyle r^3\small .\)

 

По условию задачи известен объем цилиндра.

Объём цилиндра вычисляется по формуле:

\(\displaystyle V_ц=\pi r^2 \cdot h { \small .}\)

Так как \(\displaystyle h=2r{ \small ,}\) формула для вычисления объема цилиндра примет вид:

\(\displaystyle V_ц=\pi r^2 \cdot 2r { \small ,}\)

\(\displaystyle V_ц=2\pi \cdot r^3 \small .\)

 

Найдем \(\displaystyle r^3 {\small,}\) используя известный объем цилиндра \(\displaystyle V_ц=33 {\small:}\)

 \(\displaystyle r^3 = \frac{33}{2 \pi} \)

Подставляя \(\displaystyle V_ц=33\) в формулу объема цилиндра, получаем:

\(\displaystyle V_ц=2\pi \cdot r^3 \small ,\)

\(\displaystyle 33=2\pi \cdot r^3 { \small ,}\)

откуда

\(\displaystyle r^3 = \frac{33}{2 \pi} \small .\)

Подставим найденное значение \(\displaystyle r^3\) в формулу для вычисления объема шара:

\(\displaystyle V_ш=\frac {4}{3} \pi \cdot r^3 { \small ,}\)

\(\displaystyle V_ш=\frac {4}{3} \pi \cdot \frac{33}{2 \pi}= \frac{4 \pi \cdot 33}{3 \cdot 2 \pi}=22{ \small .}\)

Значит, объем шара равен \(\displaystyle 22 \small .\)

Ответ: \(\displaystyle 22{\small .} \)