Skip to main content

Теория: 10 Комбинации круглых тел - 2 (в стадии наполнения)

Задание

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна \(\displaystyle 3 \sqrt 2 {\small.}\) Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение

Так как цилиндр и конус имеют общее основание, то и радиус основания у них один.

Введем обозначения: 

  • \(\displaystyle r\)  –  радиус основания цилиндра и конуса,
  • \(\displaystyle h\) –  высота цилиндра и конуса,
  • \(\displaystyle l\) –  образующая конуса.

По условию высота цилиндра равна радиусу основания:

\(\displaystyle h=r\small .\)

Известна площадь боковой поверхности цилиндра. Требуется найти площадь боковой поверхности конуса.


Формулы для вычисления площади боковой поверхности конуса и цилиндра имеют вид:

\(\displaystyle S_{бок \,кон}=\pi \cdot r\cdot l \) и \(\displaystyle S_{бок \, ц}=2\pi r \cdot h \small . \)

Так как \(\displaystyle h=r\small ,\) то

\(\displaystyle S_{бок \, ц}=2\pi r \cdot r =2\pi r^2 {\small .} \)

Значит, для вычисления площади боковой поверхности цилиндра необходима только величина \(\displaystyle r{\small.}\)  

 

Выразим площадь боковой поверхности конуса также только через радиус основания.

Для этого выразим через \(\displaystyle r\) образующую конуса \(\displaystyle l {\small :}\)

\(\displaystyle l=r\sqrt{2} \)

Рассмотрим треугольник, образованный высотой, радиусом и образующей конуса. 

Высота конуса перпендикулярна плоскости основания, радиус лежит в плоскости основания, поэтому высота перпендикулярна радиусу. 

Значит, рассматриваемый треугольник – прямоугольный с равными катетами \(\displaystyle h=r\) и гипотенузой \(\displaystyle l \small .\) 

По теореме Пифагора:

\(\displaystyle l^2=r^2+r^2 \small ,\)

\(\displaystyle l^2=2r^2 \small .\)

Так как \(\displaystyle l\) – длина отрезка, то \(\displaystyle l>0 \small ,\) поэтому

\(\displaystyle l=r \sqrt2 \small .\)

Подставив найденное значение \(\displaystyle l\) в формулу площади боковой поверхности конуса, получаем:

\(\displaystyle S_{бок \,кон}=\pi \cdot r\cdot l=\pi \cdot r\cdot r \sqrt2=\pi \sqrt2 \cdot r^2 { \small .} \)

 

Таким образом, обе площади поверхности выражены через \(\displaystyle r^2{\small:}\) 

\(\displaystyle S_{бок \,кон}=\pi \sqrt2 \cdot r^2\) и \(\displaystyle S_{бок \, ц}=2\pi r^2 \small . \)

 

Найдем \(\displaystyle r^2 \) из известной площади боковой поверхности цилиндра\(\displaystyle S_{бок \, ц}=3 \sqrt 2 \)

\(\displaystyle r^2 = \frac {3 \sqrt 2}{2\pi}\)

\(\displaystyle \begin{aligned}S_{бок \, ц}&=2\pi r^2 \small , \\3 \sqrt 2 &= 2\pi r^2 \ \ \color{red}{\bigg| : 2\pi}{ \small ,} \\r^2 &= \frac {3 \sqrt 2}{2\pi} { \small .}\end{aligned}\)

и подставим в формулу боковой поверхности конуса:

\(\displaystyle S_{бок \,кон}= \pi \sqrt2 \cdot r^2 = \pi \sqrt2\cdot \frac {3 \sqrt 2}{2\pi} = 3 { \small .} \)

Значит, площадь боковой поверхности конуса равна \(\displaystyle 3 { \small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 3{\small .} \)