Skip to main content

Теория: 08 Сфера и шар (в стадии наполнения)

Задание

Площадь большого круга шара равна \(\displaystyle 9 \pi{\small .} \) Найдите объем шара \(\displaystyle V \small .\) В ответ запишите \(\displaystyle \frac{V}{ \pi }{\small .} \) 

Решение

Обозначим через \(\displaystyle R \) радиус шара.

Требуется найти объем шара \(\displaystyle V {\small.}\)

Правило

Объём шара

\(\displaystyle V=\frac {4}{3} \pi R^3 { \small ,}\)

где \(\displaystyle R\) –  радиус шара.

Для нахождения объема шара нам необходимо знать радиус шара \(\displaystyle R \small.\)

 

По условию известна площадь большого круга шара.

Радиус большого круга шара равен радиусу шара \(\displaystyle R{\small .} \)

Определение

Большой круг шара

Большой круг – круг, получаемый при сечении шара плоскостью, проходящей через его центр.

Так как центр большого круга совпадает с центром шара, то их радиусы также совпадают.

Тогда площадь большого круга шара равна

\(\displaystyle S_{кр}=\pi \cdot R^2{\small .}\)


Найдем \(\displaystyle R\) из формулы для площади большого круга \(\displaystyle S_{кр}{\small .}\) Так как \(\displaystyle S_{кр}=9 \pi{ \small ,}\) получаем:

\(\displaystyle S_{кр}=\pi \cdot R^2{\small ,}\)

\(\displaystyle 9 \pi=\pi \cdot R^2{\small ,}\)

\(\displaystyle R^2=9{\small .} \)

Так как \(\displaystyle R\) – длина радиуса шара, то \(\displaystyle R>0{ \small ,}\) поэтому

\(\displaystyle R=3{\small .} \)


Подставляя найденное значение \(\displaystyle R\) в формулу для вычисления объема шара, получаем:

\(\displaystyle V=\frac {4}{3} \pi \cdot R^3 {\small ,} \)

\(\displaystyle V=\frac {4}{3} \pi \cdot 3^3=36 \pi \small. \)

В ответе требуется указать \(\displaystyle \dfrac{V}{\pi}{\small :}\)

\(\displaystyle \dfrac{V}{\pi}=\dfrac{36 \pi}{\pi}=36{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 36{\small .} \)