Skip to main content

Теория: 02 Обыкновенные дроби

Задание

Вычислите (ответ дайте в виде десятичной дроби или целого числа):

\(\displaystyle \dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{3}}=\)

Решение

Сначала упростим числитель и знаменатель.

Упрощая числитель, получаем: \(\displaystyle \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\frac{5}{6}{\small.}\)

Знаменатели дробей \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 3\) не имеют общего множителя, отличного от единицы.

Тогда для сложения дробей \(\displaystyle \frac{1}{2}\)​ и \(\displaystyle \frac{1}{3}\)​ приведем их к общему знаменателю, перемножив \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 3{\small.}\)

Получаем:

\(\displaystyle \dfrac{1}{2}^{\backslash\cdot3}+\dfrac{1}{3}^{\backslash\cdot2}=\frac{3+2}{3\cdot2}=\frac{5}{6}{\small.}\)

Упрощая знаменатель, получаем: \(\displaystyle \dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{3}=\frac{5}{12}{\small.}\)

Наибольший общий делитель знаменателей дробей \(\displaystyle 12=3\cdot4\) и \(\displaystyle 3\) – это число \(\displaystyle 3{\small.}\)

Тогда для сложения дробей \(\displaystyle \frac{1}{12}\)​ и \(\displaystyle \frac{1}{3}\)​ приведем их к общему знаменателю, домножив \(\displaystyle 3\) на \(\displaystyle 4{\small:}\)

\(\displaystyle \frac{1}{12}+\frac{1}{3}=\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{3}^{\backslash\cdot4}=\frac{1+4}{3\cdot4}=\frac{5}{12}{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle \dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{3}}=\frac{\,\,\,\,\,\,\dfrac{5}{6}\,\,\,\,\,\,}{\dfrac{5}{12}}{\small.}\)


Перепишем выражение в виде деления дробей:

\(\displaystyle \frac{\,\,\,\,\,\,\dfrac{5}{6}\,\,\,\,\,\,}{\dfrac{5}{12}}=\dfrac{5}{6}:\dfrac{5}{12}{\small.}\)


Выполним деление:

\(\displaystyle \dfrac{5}{6}:\dfrac{5}{12}=\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{12}{5}=\frac{\cancel{5}\cdot\cancel{12}^{\backslash2}}{\cancel{6}\cdot\cancel{5}}=2{\small.}\)


Таким образом, получаем:

\(\displaystyle \dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{3}}=\frac{\,\,\,\,\,\,\dfrac{5}{6}\,\,\,\,\,\,}{\dfrac{5}{12}}=\dfrac{5}{6}:\dfrac{5}{12}=\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{12}{5}=2{\small.}\)


Ответ: \(\displaystyle 2{\small.}\)