Skip to main content

Теория: 02 Обыкновенные дроби

Задание

Вычислите (ответ дайте в виде десятичной дроби или целого числа):

\(\displaystyle \dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{3}}=\)

Решение

Сначала упростим числитель и знаменатель.

Упрощая числитель, получаем: \(\displaystyle \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\frac{5}{6}{\small.}\)

Знаменатели данных дробей равны \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 3{\small.}\) Они не имеют общего множителя, отличного от единицы.

Тогда наименьший общий знаменатель \(\displaystyle \frac{1}{3}\) и \(\displaystyle \frac{1}{2}\) равен \(\displaystyle 2\cdot 3=6{\small.}\)

Приведем дроби к общему знаменателю \(\displaystyle 2\cdot 3\) и сложим их, домножив числитель и знаменатель первой дроби на \(\displaystyle 3{\small,}\) а второй – на \(\displaystyle 2{\small.}\)

Получим:

\(\displaystyle \dfrac{1}{2}^{\backslash\cdot3}+\dfrac{1}{3}^{\backslash\cdot2}=\frac{3+2}{3\cdot2}=\frac{5}{6}{\small.}\)

Упрощая знаменатель, получаем: \(\displaystyle \dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{3}=\frac{5}{12}{\small.}\)

Знаменатели данных дробей равны \(\displaystyle 12=3\cdot4\) и \(\displaystyle 3{\small.}\) Их наибольший общий делитель – это число \(\displaystyle 3{\small.}\)

Тогда наименьший общий знаменатель данных дробей равен \(\displaystyle 3\cdot4{\small.}\)

Приведем дроби к общему знаменателю \(\displaystyle 3\cdot4\) и сложим их, домножив числитель и знаменатель второй дроби на \(\displaystyle 4{\small.}\)

Получим:

\(\displaystyle \frac{1}{12}+\frac{1}{3}=\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{3}^{\backslash\cdot4}=\frac{1+4}{3\cdot4}=\frac{5}{12}{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle \dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{3}}=\frac{\,\,\,\,\,\,\dfrac{5}{6}\,\,\,\,\,\,}{\dfrac{5}{12}}{\small.}\)

Заменим дробную черту на знак деления:

\(\displaystyle \frac{\,\,\,\,\,\,\dfrac{5}{6}\,\,\,\,\,\,}{\dfrac{5}{12}}=\dfrac{5}{6}:\dfrac{5}{12}{\small.}\)


Выполним деление:

\(\displaystyle \dfrac{5}{6}:\dfrac{5}{12}=\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{12}{5}=\frac{\cancel{5}\cdot\cancel{12}^{\backslash2}}{\cancel{6}\cdot\cancel{5}}=2{\small.}\)


Таким образом, получаем:

\(\displaystyle \dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{3}}=\frac{\,\,\,\,\,\,\dfrac{5}{6}\,\,\,\,\,\,}{\dfrac{5}{12}}=\dfrac{5}{6}:\dfrac{5}{12}=\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{12}{5}=2{\small.}\)


Ответ: \(\displaystyle 2{\small.}\)