Skip to main content

Теория: 20 Углы между секущими в окружности

Задание

Угол \(\displaystyle ACB\) равен \(\displaystyle 34^\circ{\small,}\) его сторона \(\displaystyle CA\) касается окружности в точке \(\displaystyle A{\small .}\) Угол \(\displaystyle ABC\) равен \(\displaystyle 32^\circ {\small .}\) Найдите угол \(\displaystyle BAE \) (см. рис.). Ответ дайте в градусах.

\(\displaystyle ^{\circ}\)

Решение

Вписанный угол \(\displaystyle ABE\) опирается на дугу \(\displaystyle AE{\small .}\)

Поскольку вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается, то 

\(\displaystyle \angle ABE=\frac{1}{2} \overset{\smile}{AE}{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle \frac{1}{2} \overset{\smile}{AE}=\angle ABE=\angle ABC=32^{\circ}{\small,}\)

\(\displaystyle \overset{\smile}{AE}=64^{\circ}{\small .}\)

По теореме об угле между касательной и секущей:

Правило

Угол между касательной и секущей

Угол между касательной и секущей, проведёнными из одной точки, лежащей вне окружности, равен полуразности дуг, лежащих между ними.

получаем:

\(\displaystyle \angle ACB=\frac{1}{2} \overset{\smile}{AB}-\frac{1}{2} \overset{\smile}{AE}{\small .}\)

Значит,

\(\displaystyle \frac{1}{2} \overset{\smile}{AB}=\frac{1}{2} \overset{\smile}{AE}+\angle ACB=32^{\circ}+34^{\circ}=66^{\circ}{\small,}\)

\(\displaystyle \overset{\smile}{AB}=132^{\circ}{\small .}\)

Дуги \(\displaystyle \overset{\smile}{AB}{\small,}\) \(\displaystyle \overset{\smile}{AE}\) и \(\displaystyle \overset{\smile}{BE}\) в сумме дают всю окружность, значит 

\(\displaystyle \overset{\smile}{BE}=360^{\circ}-\overset{\smile}{AE}-\overset{\smile}{AB}=360^{\circ}-64^{\circ}-132^{\circ}=164^{\circ}{\small .}\)

Вписанный угол \(\displaystyle BAE\) опирается на дугу \(\displaystyle \color{red}{BE}{\small .}\)

Поскольку вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается, то 

\(\displaystyle \angle BAE=\frac{1}{2} \overset{\smile}{BE}=82^{\circ}{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 82^{\circ} {\small .}\)