Найдите значение выражения
\(\displaystyle 5^{\log_{5} 2+1}=\)
В показателе степени \(\displaystyle 5^{\log_5 {2}+1}\) стоит сумма.
Применим свойство умножения степеней:
\(\displaystyle a^{\color{red}n} \cdot a^{\color{blue}{m}}=a^{\color{red}n+\color{blue}{m}}\)
или
\(\displaystyle a^{\color{red}n+\color{blue}{m}}=a^{\color{red}n} \cdot a^{\color{blue}{m}}\)
Тогда:
\(\displaystyle 5^{\color{red}{\log_5 2}+\color{blue}{1}}=5^\color{red}{\log_5 2} \cdot 5^\color{blue}{1} {\small.}\)
В первом множителе \(\displaystyle 5^{\log_5 {2}}\) одинаковые основания у степени и у логарифма.
Применим основное свойство логарифма:
\(\displaystyle \color{red}a^{\log_{\color{red}a} {\color{blue}{b}}}=\color{blue}{b} \) \(\displaystyle (b>0,\,a>0,\,a \, \cancel= \,1 )\)
Тогда
\(\displaystyle \color{red}5^{\log_{\color{red}5} {\color{blue}{2}}}=\color{blue}{2}{\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle 5^{\log_5 {2}}\cdot5^1=2 \cdot 5=10 {\small.}\)
Таким образом, верна следующая цепочка равенств:
\(\displaystyle 5^{\log_5 {2}+1}=5^{\log_5 {2}}\cdot5^1=2 \cdot 5=10{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 10 {\small.} \)