Найдите значение выражения
\(\displaystyle \log_{\sqrt{11}} 11^2=\)
Представим основание логарифма \(\displaystyle \log_{\sqrt{11}}11^2\) в виде степени:
\(\displaystyle \sqrt{11}=11^\frac{1}{2}{\small.}\)
То есть
\(\displaystyle \log_{\color{blue}{\sqrt{11}}}11^2=\log_{\color{blue}{11^{\frac{1}{2}}}}11^2{\small.}\)
Применим свойство логарифма, в основании которого стоит степень:
\(\displaystyle \log_{a^{\color{red}{k}}} b=\frac{1}{\color{red}{k}} \log_a b \)
\(\displaystyle (b>0,a>0,a \, \cancel= \,1 , k\, \cancel= \,0)\)
Получаем:
\(\displaystyle \log_{11^{\color{red}{\frac{1}{2}}}} 11^2=\frac{1}{\color{red}{\phantom{1}\frac{1}{2}\phantom{1}}} \log_{11} 11^2=2\log_{11} 11^2 {\small.}\)
Найдем значение полученного более простого логарифма:
\(\displaystyle \log_{11} (11^2)=2 {\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle 2\log_{11} 11^2=2\cdot 2=4 {\small.}\)
Таким образом, верна следующая цепочка равенств:
\(\displaystyle \log_{\sqrt{11}}11^2=\log_{11^{\frac{1}{2}}}11^2=2\log_{11} 11^2=2\cdot 2=4 {\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 4 {\small.} \)