Найдите корень уравнения
\(\displaystyle 6^{2x-6} :6^{5-3x} =216{\small .}\)
Представим обе части уравнения в виде степени одного и того же числа.
По свойствам степеней
\(\displaystyle 6^{2x-6} :6^{5-3x} =6^{(2x-6)-(5-3x)}=6^{2x-6-5+3x}=6^{5x-11}{\small .}\)
Значит, исходное уравнение \(\displaystyle 6^{2x-6} :6^{5-3x} =216\) можно переписать как
\(\displaystyle 6^{5x-11} =216{\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle 216=6^{3}{\small ,}\) то получаем:
\(\displaystyle 6^{5x-11} =6^3{\small .}\)
Так как основание одинаковое, можно приравнять степени:
\(\displaystyle 5x-11=3{\small .}\)
Решим полученное линейное уравнение:
\(\displaystyle 5x=3+11{\small ,}\)
\(\displaystyle 5x=14{\small ,}\)
\(\displaystyle x=\frac{14}{5}=2\frac{4}{5}=2{,}8{\small .}\)
Ответ:\(\displaystyle 2{,}8{\small .}\)