Skip to main content

Теория: 04 Показательные уравнения

Задание

Найдите корень уравнения

\(\displaystyle 0{,}5^{2x-5} \cdot 0{,}5^{2x-3} =16{\small .}\)

\(\displaystyle x=\)
1
Решение

Представим обе части уравнения в виде степени одного и того же числа.

Для этого переведем десятичные дроби в обычные.  Так как \(\displaystyle 0{,}5=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}{\small ,}\) получаем

\(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{2x-5} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2x-3} =16{\small .}\)

По свойствам степеней 

\(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{2x-5} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2x-3}=\left(\frac{1}{2}\right)^{(2x-5)+(2x-3)}=\left(\frac{1}{2}\right)^{4x-8}{\small .}\)

Значит, уравнение \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{2x-5} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2x-3} =16\) можно переписать как

\(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{4x-8} =16{\small .}\)

Поскольку \(\displaystyle 16=2^4=\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}{\small ,}\) то получаем:

\(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{4x-8} =\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}{\small .}\)

Так как основание одинаковое, можно приравнять степени:

\(\displaystyle 4x-8=-4{\small .}\)

Решим полученное линейное уравнение:

\(\displaystyle 4x=-4+8{\small ,}\)

\(\displaystyle 4x=4{\small ,}\)

\(\displaystyle x=1{\small .}\)

Ответ:\(\displaystyle 1{\small .}\)