Найдите значение выражения:
\(\displaystyle 3\sqrt{3}\tg1140^{\circ}=\)
Сначала найдем \(\displaystyle \tg 1140^\circ{\small.}\)
Выделим из угла \(\displaystyle 1140^\circ\) как можно больше раз \(\displaystyle 360^{\circ}{\small:}\)
\(\displaystyle 1140^\circ=3\cdot360^{\circ}+60^{\circ}{\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle \tg1140^{\circ}=\tg(3\cdot360^{\circ}+60^{\circ}){\small.}\)
Прибавление к углу \(\displaystyle 360^{\circ}\) сохраняет без изменений значение любой тригонометрической функции.
Значит,
\(\displaystyle \tg(3\cdot360^{\circ}+60^{\circ})=\tg60^{\circ}{\small.}\)
Так как \(\displaystyle \cos60^{\circ}=\frac{1}{2}\) и \(\displaystyle \sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}{\small,}\) то
\(\displaystyle \tg60^{\circ}=\frac{\sin60^\circ}{\cos 60^\circ}=\frac{\,\,\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\,\,}{\dfrac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}\cdot\cancel{2}}{\cancel{2}\cdot1}=\sqrt{3}{\small.}\)
То есть
\(\displaystyle \tg 1140^\circ=\tg60^{\circ}=\sqrt{3}{\small.}\)
Подставим в исходное выражение:
\(\displaystyle 3\sqrt{3}\tg1140^{\circ}=3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3(\sqrt{3})^2=3\cdot3=9{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 9{\small.}\)