Skip to main content

Теория: 02 Свойства степеней

Задание

Найдите значение выражения:
 

\(\displaystyle 0{,}125^{199}\cdot 8^{201}=\)

Решение

Произведение оснований степенных выражений \(\displaystyle 0{,}125\cdot 8=1,\) однако степени \(\displaystyle (0{,}125)^{\color{red}{199}}\) и  \(\displaystyle 8^{\color{blue}{201}}\) различны, и поэтому сразу применить правило произведения в степени нельзя.

Правило

Произведение в степени

Для любых чисел \(\displaystyle a,\, b\)  и натурального числа \(\displaystyle n\) верно

\(\displaystyle (ab\,)^n=a^{\,n} b^{\,n}.\)

Преобразуем наше выражение так, чтобы данное правило можно было применить:

\(\displaystyle 0{,}125^{\color{red}{199}} \cdot 8^{\color{blue}{201}}=0{,}125^{\color{red}{199}} \cdot 8^{\color{red}{199}+\color{blue}{2}}=0{,}125^{\color{red}{199}} \cdot 8^{\color{red}{199}}\cdot 8^{\color{blue}{2}}.\)

Теперь применим правило "произведение в степени":

\(\displaystyle 0{,}125^{\color{red}{199}} \cdot 8^{\color{red}{199}}\cdot 8^{\color{blue}{2}}=\left(0{,}125 \cdot 8\right)^{\color{red}{199}}\cdot 8^{\color{blue}{2}}=1^{\color{red}{199}}\cdot 8^{\color{blue}{2}}=\color{red}{1}\cdot \color{blue}{64}=64.\)

Таким образом,

\(\displaystyle 0{,}125^{199}\cdot 8^{201}=64.\)

Ответ: \(\displaystyle 64.\)