Skip to main content

Теория: Кредит в банке, равномерное уменьшение долга

Задание

10 декабря планируется взять кредит в банке на 20 месяцев. Условия возврата таковы:

  • 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 6% по сравнению с концом предыдущего месяца;
  • со 2-го по 9-ое число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
  • 10-го числа каждого месяца с 1-го по 19-й долг должен быть на 35 тысяч рублей меньше долга на 10-е число предыдущего месяца;
  • к 10-му числу 20-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1174 тысяч рублей.

Какой долг будет 10-го числа 19-го месяца?

тысяч рублей

 

Решение

Пусть кредит взят на сумму \(\displaystyle x\) тысяч рублей. Сначала поймем как формируются выплаты в каждом месяце.

Для этого разберем первый шаг:

  • 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 6%, то есть долг стал \(\displaystyle x+\frac{6}{100}\cdot x=1{,}06x{\small ,}\)
  • со 2-го по 9-ое число выплачивается часть долга,
  • 10-го числа каждого месяца с 1-го по 19-й долг должен быть меньше на 35 тысяч рублей, то есть долг стал \(\displaystyle x-35\) тысяч рублей.

Чтобы долг уменьшился с \(\displaystyle x\) тысяч рублей до \(\displaystyle x-35\) тысяч рублей, необходимо:

  1. выплатить начисленные проценты: \(\displaystyle 0{,}06x \,{\small ; }\)
  2. выплатить \(\displaystyle 35\) тысяч рублей.

Следовательно, выплата в первый месяц – это сумма процентов и \(\displaystyle 35\) тысяч рублей:

\(\displaystyle 0{,}06x+35{\small .}\)

Аналогично формируется выплата в каждом месяце, кроме последнего:

начисленные проценты+\(\displaystyle 35\) тысяч рублей.

Составим таблицу выплат:
 

ШагДолгПроцентыВыплаты
 

 

 

\(\displaystyle x\)
  
1

 

 

\(\displaystyle x-35\)

\(\displaystyle \color{blue}{0{,}06x}\)

\(\displaystyle \color{blue}{0{,}06x}+35\)
2

 

 

\(\displaystyle x-2\cdot 35\)
\(\displaystyle \color{blue}{0{,}06(x-35)}\)\(\displaystyle \color{blue}{0{,}06(x-35)}+35\)
3

 

 

\(\displaystyle x-3\cdot 35\)
\(\displaystyle \color{blue}{0{,}06(x-2\cdot 35)}\)\(\displaystyle \color{blue}{0{,}06(x-2\cdot 35)}+35\)
\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)
19

 

 

\(\displaystyle \color{green}{x-19\cdot 35}\)
\(\displaystyle \color{blue}{0{,}06(x-18\cdot 35)}\)\(\displaystyle \color{blue}{0{,}06(x-18\cdot 35)}+35\)
20

 

 

\(\displaystyle 0\)
\(\displaystyle \color{blue}{0{,}06(x-19\cdot 35)}\)\(\displaystyle \color{blue}{0{,}06(x-19\cdot 35)}+\color{green}{x-19\cdot 35}\)

 

В последнем месяце надо погасить весь долг, то есть  выплатить всю сумму:

  • долг с прошлого месяца: \(\displaystyle \color{green}{x-19\cdot 35} {\small ; }\)
  • проценты, начисленные на этот долг: \(\displaystyle \color{blue}{0{,}06(x-19\cdot 35)} {\small . }\)

Поэтому выплата в последний месяц составит

\(\displaystyle \color{blue}{0{,}06(x-19\cdot 35)}+\color{green}{x-19\cdot 35}{\small .}\)

Найдем общую сумму выплат:

\(\displaystyle \begin{array}{l} \color{blue}{0{,}06x}+35+\color{blue}{0{,}06(x-35)}+35+\color{blue}{0{,}06(x-2\cdot 35)}+35+\ldots+\color{blue}{0{,}06(x-18\cdot 35)}+35+\\+\color{blue}{0{,}06(x-19\cdot 35)}+\color{green}{x-19\cdot 35}\end{array}\)

Выделим цветом подобные слагаемые:

\(\displaystyle \begin{array}{l} 0{,}06\color{blue}{x}+\color{green}{35}+0{,}06(\color{blue}{x}-\color{red}{35})+\color{green}{35}+ 0{,}06(\color{blue}{x}-\color{red}{2\cdot 35})+\color{green}{35}+\ldots+0{,}06(\color{blue}{x}-\color{red}{18\cdot 35})+\color{green}{35}+\\+0{,}06(\color{blue}{x}-\color{red}{19\cdot 35})+x-19\cdot 35\end{array}\)

Сгруппируем их:

\(\displaystyle \small \color{green}{\underbrace{35+35+35+\ldots+35}_{19\, раз}}+0{,}06(\color{blue}{\underbrace{x+x+x+\ldots+x+x}_{20 \, раз}})-0{,}06\cdot 35(\color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots\)
\(\displaystyle \ldots+\color{red}{18}+\color{red}{19})+x-19\cdot 35{\small.}\)

Вычислим сумму арифметической прогрессии:

\(\displaystyle \color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{18}+\color{red}{19}=\color{red}{\frac{(1+19)}{2}\cdot 19}{\small .}\)

По условию общая сумма выплат равна \(\displaystyle 1174{\small .}\) Тогда получаем:

\(\displaystyle 1174=\color{green}{19\cdot 35}+0{,}06\cdot \color{blue}{20x}-0{,}06\cdot 35\color{red}{\frac{(1+19)}{2}\cdot 19}+x-19\cdot 35\)

\(\displaystyle 1174=(0{,}06\cdot 20+1)x-399\)

\(\displaystyle x=\frac{1174+399}{2,2}\)

\(\displaystyle x=715{\small .}\)

В условии задачи просят найти долг на 10-го числа 19-го месяца, который равен \(\displaystyle x-19\cdot 35{\small .}\)

Значит, долг на 10-е число 19-го месяца составит

\(\displaystyle 715-19\cdot 35=50{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 50\) тысяч рублей.