\(\displaystyle 10\) декабря планируется взять кредит в банке на \(\displaystyle 9\) месяцев. Условия возврата таковы:
- \(\displaystyle 1\)-го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle 5\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со \(\displaystyle 2\)-го по \(\displaystyle 9\)-ое число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- \(\displaystyle 10\)-го числа каждого месяца с \(\displaystyle 1\)-го по \(\displaystyle 8\)-й долг должен быть на \(\displaystyle 55\) тысяч рублей меньше долга на \(\displaystyle 10\)-е число предыдущего месяца;
- к \(\displaystyle 10\)-му числу \(\displaystyle 9\)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Общая сумма выплат после полного погашения кредита составит \(\displaystyle 626\) тысяч рублей.
На какую сумму был взят кредит?
тысяч рублей.
Пусть кредит взят на сумму \(\displaystyle x\) тысяч рублей. Сначала поймем, как формируются выплаты в каждом месяце.
Для этого разберем первый шаг:
- \(\displaystyle 1\)-го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle 5\%{\small ,}\) то есть долг стал \(\displaystyle x+\frac{5}{100}\cdot x=1{,}05x{\small ,}\)
- со \(\displaystyle 2\)-го по \(\displaystyle 9\)-ое число выплачивается часть долга,
- \(\displaystyle 10\)-го числа каждого месяца с \(\displaystyle 1\)-го по \(\displaystyle 8\)-й долг должен быть меньше на \(\displaystyle 55\) тысяч рублей, то есть долг стал \(\displaystyle x-55\) тысяч рублей.
Чтобы долг с уменьшился с \(\displaystyle x\) тысяч рублей до \(\displaystyle x-55\) тысяч рублей, необходимо:
- выплатить начисленные проценты: \(\displaystyle 0{,}05 x{\small ; }\)
- выплатить \(\displaystyle 55\) тысяч рублей.
Следовательно, выплата в первый месяц – это сумма процентов и \(\displaystyle 55\) тысяч рублей:
\(\displaystyle 0{,}05x+55{\small .}\)
Аналогично формируется выплата в каждом месяце, кроме последнего:
начисленные проценты+\(\displaystyle 55\) тысяч рублей.
Составим таблицу выплат:
| Шаг | Долг | Проценты | Выплаты |
\(\displaystyle x\) | |||
| \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle x-55\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}05x}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}05x}+55\) |
| \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle x-2\cdot 55\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}05(x-55)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}05(x-55)}+55\) |
| \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle x-3\cdot 55\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}05(x-2\cdot 55)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}05(x-2\cdot 55)}+55\) |
| \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) |
| \(\displaystyle 8\) | \(\displaystyle \color{green}{x-8\cdot 55}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}05(x-7\cdot 55)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}05(x-7\cdot 55)}+55\) |
| \(\displaystyle 9\) | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}05(x-8\cdot 55)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}05(x-8\cdot 55)}+\color{green}{x-8\cdot 55}\) |
В последнем месяце надо погасить весь долг, то есть выплатить всю сумму:
- долг с прошлого месяца: \(\displaystyle \color{green}{x-8\cdot 55}{\small ; }\)
- проценты, начисленные на этот долг: \(\displaystyle \color{blue}{0{,}05(x-8\cdot 55)}{\small . }\)
Поэтому общая выплата в последний месяц составит
\(\displaystyle \color{blue}{0{,}05(x-8\cdot 55)}+\color{green}{x-8\cdot 55}{\small .}\)
Найдем общую сумму выплат:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{blue}{0{,}05x}+55+\color{blue}{0{,}05(x-55)}+55+\color{blue}{0{,}05(x-2\cdot 55)}+55+\ldots+\color{blue}{0{,}05(x-7\cdot 55)}+\\[5px]+55+\color{blue}{0{,}05(x-8\cdot 55)}+\color{green}{x-8\cdot 55}{\small . }\end{array}\)
Выделим цветом подобные слагаемые:
\(\displaystyle \begin{array}{l}0{,}05\color{blue}{x}+\color{green}{55}+0{,}05(\color{blue}{x}-\color{red}{55})+\color{green}{55}+ 0{,}05(\color{blue}{x}-\color{red}{2\cdot 55})+\\[5px]+\color{green}{55}+\ldots+0{,}05(\color{blue}{x}-\color{red}{7\cdot 55})+\color{green}{55}+0{,}05(\color{blue}{x}-\color{red}{8\cdot 55})+x-8\cdot 55{\small . }\end{array}\)
Сгруппируем их:
\(\displaystyle \begin{aligned}\color{green}{\underbrace{55+55+55+\ldots+55}_{8\, раз}}+0{,}05(\color{blue}{\underbrace{x+x+x+\ldots+x+x}_{9 \, раз}})-\\[5px]-0{,}05\cdot 55(\color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{7}+\color{red}{8})+x-8\cdot 55 {\small .}\end{aligned}\)
Вычислим сумму арифметической прогрессии:
\(\displaystyle \color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{7}+\color{red}{8}=\color{red}{\frac{(1+8)}{2}\cdot 8}{\small .}\)
Подставляя, получаем, что общая сумма выплат равна
\(\displaystyle \color{green}{8\cdot 55}+0{,}05\cdot \color{blue}{9x}-0{,}05\cdot\color{red}{\frac{(1+8)}{2}\cdot 8}\cdot 55+x-8\cdot 55{\small .}\)
По условию общая сумма выплат равна \(\displaystyle 626{\small .}\)
Получаем уравнение:
\(\displaystyle \color{green}{8\cdot 55}+0{,}05\cdot \color{blue}{9x}-0{,}05\cdot\color{red}{\frac{(1+8)}{2}\cdot 8}\cdot 55+x-8\cdot 55=626{\small . }\)
Решим полученное уравнение:
\(\displaystyle 0{,}05\cdot 9\cdot x-99+x=626{\small ; }\)
\(\displaystyle (0{,}05\cdot 9+1)x-99=626{\small ; }\)
\(\displaystyle x=\frac{626+99}{1{,}45}{\small ; }\)
\(\displaystyle x=500{\small .}\)
Таким образом, кредит был взят на
\(\displaystyle 500\) тысяч рублей.
Ответ: \(\displaystyle 500\) тысяч рублей.