Skip to main content

Теория: Кредит в банке, равномерное уменьшение долга

Задание

10 декабря планируется взять кредит в банке в размере 800 тысяч рублей на 11 месяцев. Условия возврата таковы:

  • 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 8% по сравнению с концом предыдущего месяца;
  • со 2-го по 9-ое число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
  • 10-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 10-е число предыдущего месяца;
  • к 10-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1240 тысяч рублей.

Найдите сумму долга на 10-е число 10-го месяца.

тысяч рублей

 
Решение

Пусть \(\displaystyle x\) тысяч рублей – сумма долга на 10-е число 10-го месяца.

Обозначим за \(\displaystyle y\) сумму, на которую уменьшается долг на 10-е число каждого месяца вплоть до предпоследнего.

Сначала разберем как формируются выплаты в каждом месяце.

Для этого разберем первый шаг:

  • 1-го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle 8\)%, то есть долг стал \(\displaystyle 800+\frac{8}{100}\cdot x=1.08\cdot 800{\small ,}\)
  • со 2-го по 9-ое число выплачивается часть долга,
  • 10-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть меньше на \(\displaystyle y\) тысяч рублей, то есть долг стал \(\displaystyle 800-y\) тысяч рублей.

Чтобы долг уменьшился с \(\displaystyle 800\) тысяч рублей до \(\displaystyle 800-y\) тысяч рублей, необходимо:

  1. выплатить начисленные проценты: \(\displaystyle 0.08\cdot 800{\small ; }\)
  2. выплатить \(\displaystyle y\) тысяч рублей.

Следовательно, выплата в первый месяц – это сумма процентов и \(\displaystyle y\) тысяч рублей:

\(\displaystyle 0.08 \cdot 800+y{\small .}\)

Аналогично формируется выплата в каждом месяце, кроме последнего:

начисленные проценты+\(\displaystyle y\) тысяч рублей.

Составим таблицу выплат:
 

ШагДолгПроцентыВыплаты
 

 

 

\(\displaystyle 800\)
  
1

 

 

\(\displaystyle 800-y\)

\(\displaystyle \color{blue}{0.08\cdot 800}\)

\(\displaystyle \color{blue}{0.08\cdot 800}+y\)
2

 

 

\(\displaystyle 800-2\cdot y\)
\(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-y)}\)\(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-y)}+y\)
3

 

 

\(\displaystyle 800-3\cdot y\)
\(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-2\cdot y)}\)\(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-2\cdot y)}+y\)
\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)
10

 

 

\(\displaystyle \color{green}{800-10\cdot y}\)
\(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-9\cdot y)}\)\(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-9\cdot y)}+y\)
11\(\displaystyle 0\)

\(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-10\cdot y)}\)

 

 

\(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-10\cdot y)}+\color{green}{x-10\cdot y}\)

 

Из таблицы получаем, что долг на 10-е число 10-го месяца равен \(\displaystyle \color{green}{800-10\cdot y}{\small ,}\) и, следовательно,

\(\displaystyle \color{red}{x=800-10\cdot y}{\small .}\)

Найдем общую сумму выплат:

\(\displaystyle \begin{array}{l} \color{blue}{0.08\cdot 800}+y+\color{blue}{0.08(800-y)}+y+\color{blue}{0.08(800-2\cdot y)}+y+\ldots+\color{blue}{0.08(800-9\cdot y)}+y\,+\\+\color{blue}{0.08(800-10\cdot y)}+\color{green}{800-10\cdot y}{\small . }\end{array}\)

Выделим цветом подобные слагаемые:

\(\displaystyle \begin{array}{l} 0.08\cdot \color{blue}{800}+\color{green}{y}+0.08(\color{blue}{800}-\color{red}{y})+\color{green}{y}+ 0.08(\color{blue}{800}-\color{red}{2\cdot y})+\color{green}{y}+\ldots+0.08(\color{blue}{800}-\color{red}{9\cdot y})+\color{green}{y}\,+\\+0.08(\color{blue}{800}-\color{red}{10\cdot y})+800-10\cdot y {\small . }\end{array}\)

Сгруппируем их:

\(\displaystyle \small \color{green}{\underbrace{y+y+y+\ldots+y}_{10\, раз}}\,+0.08(\color{blue}{\underbrace{800+800+800+\ldots+800+800}_{11 \, раз}}\,)-0.08\cdot \color{red}{y}\,(\color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{9}+\color{red}{10})+800-10\cdot y {\small .}\)

Вычислим сумму арифметической прогрессии:

\(\displaystyle \color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{9}+\color{red}{10}=\color{red}{\frac{(1+10)}{2}\cdot 10}{\small .}\)

По условию, общая сумма выплат равна \(\displaystyle 1240{\small .}\) Тогда

\(\displaystyle 1240=\color{green}{10\cdot y}+0.08\cdot \color{blue}{11\cdot 800}-0.08\color{red}{y}\color{red}{\frac{(1+10)}{2}\cdot 10}+800-10\cdot y{\small ,}\)

сократим \(\displaystyle \color{green}{10\cdot y}\) и \(\displaystyle 10\cdot y{\small ,}\)

\(\displaystyle 1240=0.08\cdot \color{blue}{11\cdot 800}-0.08\color{red}{y}\color{red}{\frac{(1+10)}{2}\cdot 10}+800{\small .}\)

Следовательно,

\(\displaystyle y=\frac{\small 0.08\cdot 11\cdot 800+800-1240}{\small 0.08\cdot \frac{(1+10)}{2}\cdot 10}{\small ,}\)

\(\displaystyle y=\frac{\small 264}{\small 4{,}4}\)

и

\(\displaystyle y=60{\small .}\)

Подставляя \(\displaystyle y=60\) в выражение \(\displaystyle \color{red}{x=800-10\cdot y}{\small , }\) получаем:

\(\displaystyle x=800-10\cdot 60{\small ,}\)

\(\displaystyle x=200{\small .}\)

Таким образом, на 10-е число 10-го месяца сумма долга составляла \(\displaystyle 200\) тысяч рублей.

Ответ: \(\displaystyle 200\) тысяч рублей.