10 декабря планируется взять кредит в банке в размере 800 тысяч рублей на 11 месяцев. Условия возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 8% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 9-ое число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 10-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 10-е число предыдущего месяца;
- к 10-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1240 тысяч рублей.
Найдите сумму долга на 10-е число 10-го месяца.
тысяч рублей
Пусть \(\displaystyle x\) тысяч рублей – сумма долга на 10-е число 10-го месяца.
Обозначим за \(\displaystyle y\) сумму, на которую уменьшается долг на 10-е число каждого месяца вплоть до предпоследнего.
Сначала разберем как формируются выплаты в каждом месяце.
Для этого разберем первый шаг:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle 8\)%, то есть долг стал \(\displaystyle 800+\frac{8}{100}\cdot x=1.08\cdot 800{\small ,}\)
- со 2-го по 9-ое число выплачивается часть долга,
- 10-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть меньше на \(\displaystyle y\) тысяч рублей, то есть долг стал \(\displaystyle 800-y\) тысяч рублей.
Чтобы долг уменьшился с \(\displaystyle 800\) тысяч рублей до \(\displaystyle 800-y\) тысяч рублей, необходимо:
- выплатить начисленные проценты: \(\displaystyle 0.08\cdot 800{\small ; }\)
- выплатить \(\displaystyle y\) тысяч рублей.
Следовательно, выплата в первый месяц – это сумма процентов и \(\displaystyle y\) тысяч рублей:
\(\displaystyle 0.08 \cdot 800+y{\small .}\)
Аналогично формируется выплата в каждом месяце, кроме последнего:
начисленные проценты+\(\displaystyle y\) тысяч рублей.
Составим таблицу выплат:
| Шаг | Долг | Проценты | Выплаты |
\(\displaystyle 800\) | |||
| 1 |
\(\displaystyle 800-y\) | \(\displaystyle \color{blue}{0.08\cdot 800}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0.08\cdot 800}+y\) |
| 2 |
\(\displaystyle 800-2\cdot y\) | \(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-y)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-y)}+y\) |
| 3 |
\(\displaystyle 800-3\cdot y\) | \(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-2\cdot y)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-2\cdot y)}+y\) |
| \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) |
| 10 |
\(\displaystyle \color{green}{800-10\cdot y}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-9\cdot y)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-9\cdot y)}+y\) |
| 11 | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-10\cdot y)}\)
| \(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-10\cdot y)}+\color{green}{x-10\cdot y}\) |
Из таблицы получаем, что долг на 10-е число 10-го месяца равен \(\displaystyle \color{green}{800-10\cdot y}{\small ,}\) и, следовательно,
\(\displaystyle \color{red}{x=800-10\cdot y}{\small .}\)
Найдем общую сумму выплат:
\(\displaystyle \begin{array}{l} \color{blue}{0.08\cdot 800}+y+\color{blue}{0.08(800-y)}+y+\color{blue}{0.08(800-2\cdot y)}+y+\ldots+\color{blue}{0.08(800-9\cdot y)}+y\,+\\+\color{blue}{0.08(800-10\cdot y)}+\color{green}{800-10\cdot y}{\small . }\end{array}\)
Выделим цветом подобные слагаемые:
\(\displaystyle \begin{array}{l} 0.08\cdot \color{blue}{800}+\color{green}{y}+0.08(\color{blue}{800}-\color{red}{y})+\color{green}{y}+ 0.08(\color{blue}{800}-\color{red}{2\cdot y})+\color{green}{y}+\ldots+0.08(\color{blue}{800}-\color{red}{9\cdot y})+\color{green}{y}\,+\\+0.08(\color{blue}{800}-\color{red}{10\cdot y})+800-10\cdot y {\small . }\end{array}\)
Сгруппируем их:
\(\displaystyle \small \color{green}{\underbrace{y+y+y+\ldots+y}_{10\, раз}}\,+0.08(\color{blue}{\underbrace{800+800+800+\ldots+800+800}_{11 \, раз}}\,)-0.08\cdot \color{red}{y}\,(\color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{9}+\color{red}{10})+800-10\cdot y {\small .}\)
Вычислим сумму арифметической прогрессии:
\(\displaystyle \color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{9}+\color{red}{10}=\color{red}{\frac{(1+10)}{2}\cdot 10}{\small .}\)
По условию, общая сумма выплат равна \(\displaystyle 1240{\small .}\) Тогда
\(\displaystyle 1240=\color{green}{10\cdot y}+0.08\cdot \color{blue}{11\cdot 800}-0.08\color{red}{y}\color{red}{\frac{(1+10)}{2}\cdot 10}+800-10\cdot y{\small ,}\)
сократим \(\displaystyle \color{green}{10\cdot y}\) и \(\displaystyle 10\cdot y{\small ,}\)
\(\displaystyle 1240=0.08\cdot \color{blue}{11\cdot 800}-0.08\color{red}{y}\color{red}{\frac{(1+10)}{2}\cdot 10}+800{\small .}\)
Следовательно,
\(\displaystyle y=\frac{\small 0.08\cdot 11\cdot 800+800-1240}{\small 0.08\cdot \frac{(1+10)}{2}\cdot 10}{\small ,}\)
\(\displaystyle y=\frac{\small 264}{\small 4{,}4}\)
и
\(\displaystyle y=60{\small .}\)
Подставляя \(\displaystyle y=60\) в выражение \(\displaystyle \color{red}{x=800-10\cdot y}{\small , }\) получаем:
\(\displaystyle x=800-10\cdot 60{\small ,}\)
\(\displaystyle x=200{\small .}\)
Таким образом, на 10-е число 10-го месяца сумма долга составляла \(\displaystyle 200\) тысяч рублей.
Ответ: \(\displaystyle 200\) тысяч рублей.
