Skip to main content

Теория: Кредит в банке, равномерное уменьшение долга

Задание

\(\displaystyle 10\) декабря планируется взять кредит в банке в размере \(\displaystyle 800\) тысяч рублей на \(\displaystyle n+1\) месяц. Условия возврата таковы:

  • \(\displaystyle 1\)-го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle 8\)% по сравнению с концом предыдущего месяца;
  • со \(\displaystyle 2\)-го по \(\displaystyle 9\)-ое число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
  • \(\displaystyle 10\)-го числа каждого месяца с \(\displaystyle 1\)-го по \(\displaystyle n\)-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на \(\displaystyle 10\)-е число предыдущего месяца;
  • к \(\displaystyle 10\)-му числу \(\displaystyle n+1\)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Сумма долга на \(\displaystyle 10\)-е число \(\displaystyle n\)-го месяца составляет \(\displaystyle 200\) тысяч рублей.

Общая сумма выплат после оплаты кредита составляет \(\displaystyle 1240\) тысяч рублей.

Найдите \(\displaystyle n\).

\(\displaystyle n=\) месяцев.

 

Решение

Обозначим за \(\displaystyle m\) сумму, на которую уменьшается долг на 10-е число каждого месяца вплоть до предпоследнего.

Разберем как формируются выплаты в каждом месяце.

Для этого разберем первый шаг:

  • \(\displaystyle 1\)-го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle 8\)%, то есть долг стал \(\displaystyle 800+\frac{8}{100}\cdot 800=1.08\cdot 800{\small ,}\)
  • со \(\displaystyle 2\)-го по \(\displaystyle 9\)-ое число выплачивается часть долга,
  • 10-го числа каждого месяца с \(\displaystyle 1\)-го по \(\displaystyle 10\)-й долг должен быть меньше на \(\displaystyle m\) тысяч рублей, то есть долг стал \(\displaystyle 800-m\) тысяч рублей.

Чтобы долг уменьшился с \(\displaystyle 800\) тысяч рублей до \(\displaystyle 800-m\) тысяч рублей, необходимо:

  1. выплатить начисленные проценты: \(\displaystyle 0.08\cdot 800{\small ; }\)
  2. выплатить \(\displaystyle m\) тысяч рублей.

Следовательно, выплата в первый месяц – это сумма процентов и \(\displaystyle m\) тысяч рублей:

\(\displaystyle 0.08 \cdot 800+m{\small .}\)

Аналогично формируется выплата в каждом месяце, кроме последнего:

начисленные проценты+\(\displaystyle m\) тысяч рублей.

Составим таблицу выплат:
 

Шаг Долг Проценты Выплаты
 

 

 

\(\displaystyle 800\)
   
\(\displaystyle 1\)

 

 

\(\displaystyle 800-m\)

\(\displaystyle \color{blue}{0.08\cdot 800}\)

\(\displaystyle \color{blue}{0.08 \cdot 800}+m\)
\(\displaystyle 2\)

 

 

\(\displaystyle 800-2\cdot m\)
\(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-m)}\) \(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-m)}+m\)
\(\displaystyle 3\)

 

 

\(\displaystyle 800-3\cdot m\)
\(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-2\cdot m)}\) \(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-2\cdot m)}+m\)
\(\displaystyle \dots\) \(\displaystyle \dots\) \(\displaystyle \dots\) \(\displaystyle \dots\)
\(\displaystyle n\)

 

 

\(\displaystyle \color{green}{800-n\cdot m}\)
\(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-(n-1)\cdot m)}\) \(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-(n-1)\cdot m)}+m\)

 

Из таблицы получаем, что долг на \(\displaystyle 10\)-е число \(\displaystyle n\)-го месяца равен \(\displaystyle \color{green}{800-n\cdot m}{\small .}\)

С другой стороны, по условию задачи долг на \(\displaystyle 10\)-е число \(\displaystyle n\)-го месяца равен \(\displaystyle 200\) тысяч рублей. Следовательно,

\(\displaystyle \color{green}{800-n\cdot m}=200{\small .}\)

Мы получили первое уравнение на \(\displaystyle n\) и \(\displaystyle m{\small :}\) \(\displaystyle 800-n\cdot m=200{\small .}\)


Продолжим таблицу.

В последнем месяце надо погасить весь долг, то есть  выплатить всю сумму:

  • долг с прошлого месяца: \(\displaystyle \color{green}{800-n\cdot m} {\small ; }\)
  • проценты, начисленные на этот долг: \(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-n\cdot m)}{\small . }\)

Поэтому общая выплата в последней месяц равна

\(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-n\cdot m)}+\color{green}{800-n\cdot m}{\small .}\)
 

Шаг Долг Проценты Выплаты
\(\displaystyle \dots\) \(\displaystyle \dots\) \(\displaystyle \dots\) \(\displaystyle \dots\)
\(\displaystyle n\)

 

 

\(\displaystyle \color{green}{800-n\cdot m}\)
\(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-(n-1)\cdot m)}\) \(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-(n-1)\cdot m)}+m\)
\(\displaystyle n+1\)

 

 

\(\displaystyle 0\)
\(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-n\cdot m)}\) \(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-n\cdot m)}+\color{green}{800-n\cdot m}\)

 

Найдем общую сумму выплат:

\(\displaystyle \begin{array}{l} \color{blue}{0.08\cdot 800}+m+\color{blue}{0.08(800-m)}+m+\color{blue}{0.08(800-2\cdot m)}+m+\ldots\\ \ldots+\color{blue}{0.08(800-(n-1)\cdot m)}+m\,+\color{blue}{0.08(800-n\cdot m)}+\color{green}{800-n\cdot m}{\small . } \end{array}\)

Выделим цветом подобные слагаемые:

\(\displaystyle \begin{array}{l} 0.08\cdot \color{blue}{800}+\color{green}{m}+0.08(\color{blue}{800}-\color{red}{m})+\color{green}{m}+ 0.08(\color{blue}{800}-\color{red}{2\cdot m})+\color{green}{m}+\ldots\\ \ldots+0.08(\color{blue}{800}-\color{red}{(n-1)\cdot m})+\color{green}{m}\,+0.08(\color{blue}{800}-\color{red}{n\cdot m})+800-n\cdot m {\small . } \end{array}\)

Сгруппируем их:

\(\displaystyle \begin{array}{c} \color{green}{\overbrace{m+m+m+\ldots+m}^{n\, раз}}\,+0.08(\color{blue}{\overbrace{800+800+800+\ldots+800+800}^{(n+1) \, раз}}\,)-\\ -0.08\cdot \color{red}{m}\,(\color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{(n-1)}+\color{red}{n})+800-n\cdot m {\small .}\end{array} \)

Вычислим сумму арифметической прогрессии:

\(\displaystyle \color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{(n-1)}+\color{red}{n}=\color{red}{\frac{(1+n)}{2}\cdot n}{\small .}\)

Так как общая сумма выплат после погашения кредита равна \(\displaystyle 1240\) тысяч рублей, то

\(\displaystyle 1240=\color{green}{n\cdot m}+0.08\cdot \color{blue}{(n+1)\cdot 800}-0.08\cdot \color{red}{m}\cdot \color{red}{\frac{(1+n)}{2}\cdot n}+800-n\cdot m{\small ,}\)

сократим \(\displaystyle \color{green}{n\cdot m}\) и \(\displaystyle n\cdot m{\small ,}\)

\(\displaystyle 1240=0.08\cdot \color{blue}{(n+1)\cdot 800}-0.08\cdot \color{red}{m}\color{red}{\frac{(1+n)}{2}\cdot n}+800{\small .}\)

Тогда можно записать систему двух уравнений от двух неизвестных \(\displaystyle n\) и \(\displaystyle m{\small .}\)

\(\displaystyle\left\{\begin{array}{rcl}800-n\cdot m&=&200,\\0.08\cdot (n+1)\cdot 800-0.08\cdot m\frac{(1+n)}{2}\cdot n+800&=&1240.\end{array}\right.\)

Решение системы \(\displaystyle n=10\)

Решим систему

\(\displaystyle\left\{\begin{array}{rcl}800-n\cdot m&=&200{\small , }\\0.08\cdot (n+1)\cdot 800-0.08\cdot m\frac{(1+n)}{2}\cdot n+800&=&1240{\small . }\end{array}\right.\)

Для этого выразим \(\displaystyle n\) через из \(\displaystyle m\) из первого уравнения:

\(\displaystyle m=\frac{800-200}{n}{\small , }\)

\(\displaystyle m=\frac{600}{n}{\small , }\)

и подставим его во второе:

\(\displaystyle 0.08\cdot (n+1)\cdot 800-0.08\cdot {\bf \frac{600}{n} }\frac{(1+n)}{2}\cdot n+800=1240{\small .}\)

Преобразуем уравнение:

\(\displaystyle 0.08\cdot (n+1)\cdot 800-0.08\cdot 600 \frac{(1+n)}{2}+800=1240{\small .}\)

Найдем \(\displaystyle n\) из полученного линейного уравнения:

\(\displaystyle (0.08\cdot 800-0.08\cdot 600 \frac{1}{2})n=1240-0.08\cdot 800+0.08\cdot 600\cdot \frac{1}{2}-800{\small ,}\)

\(\displaystyle 40n=400{\small ,}\)

\(\displaystyle n=\frac{400}{40}{\small ,}\)

\(\displaystyle n=10{\small .}\)

 Таким образом,

\(\displaystyle n=10{\small .}\)


Ответ: \(\displaystyle 10{\small .}\)