\(\displaystyle 10\) декабря планируется взять кредит в банке в размере \(\displaystyle 800 \) тысяч рублей на \(\displaystyle 10 \) месяцев. Условия возврата таковы:
- \(\displaystyle 1 \)-го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle 4\% \) по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со \(\displaystyle 2 \)-го по \(\displaystyle 9 \)-ое число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- \(\displaystyle 10 \)-го числа каждого месяца с \(\displaystyle 1 \)-го по \(\displaystyle 10 \)-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на \(\displaystyle 10 \)-е число предыдущего месяца;
- к \(\displaystyle 10 \)-му числу \(\displaystyle 10 \)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Известно, что cумма долга на \(\displaystyle 10 \)-е число \(\displaystyle 9 \)-го месяца составляет \(\displaystyle 35 \) тысяч рублей.
Найдите общую сумму выплат после погашения кредита.
тысяч рублей
Пусть \(\displaystyle x\) тысяч рублей – общая сумма выплат после погашения кредита.
Обозначим за \(\displaystyle y\) сумму, на которую уменьшается долг на \(\displaystyle 10\)-е число каждого месяца вплоть до предпоследнего.
Сначала разберем, как формируются выплаты в каждом месяце.
Для этого разберем первый шаг:
- \(\displaystyle 1\)-го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle 4\%{\small,}\) то есть долг стал \(\displaystyle 800+\frac{4}{100}\cdot 800=1{,}04\cdot 800{\small ,}\)
- со \(\displaystyle 2\)-го по \(\displaystyle 9\)-ое число выплачивается часть долга,
- \(\displaystyle 10\)-го числа каждого месяца с \(\displaystyle 1\)-го по \(\displaystyle 10\)-й долг должен быть меньше на \(\displaystyle y\) тысяч рублей, то есть долг стал \(\displaystyle 800-y\) тысяч рублей.
Чтобы долг уменьшился с \(\displaystyle 800\) тысяч рублей до \(\displaystyle 800-y\) тысяч рублей, необходимо:
- выплатить начисленные проценты: \(\displaystyle 0{,}04\cdot 800{\small ; }\)
- выплатить \(\displaystyle y\) тысяч рублей.
Следовательно, выплата в первый месяц – это сумма процентов и \(\displaystyle y\) тысяч рублей:
\(\displaystyle 0{,}04 \cdot 800+y{\small .}\)
Аналогично формируется выплата в каждом месяце, кроме последнего:
начисленные проценты+\(\displaystyle y\) тысяч рублей.
Составим таблицу выплат:
| Шаг | Долг | Проценты | Выплаты |
\(\displaystyle 800\) | |||
| \(\displaystyle 1\) |
\(\displaystyle 800-y\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}04\cdot 800}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}04 \cdot 800}+y\) |
| \(\displaystyle 2\) |
\(\displaystyle 800-2\cdot y\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}04(800-y)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}04(800-y)}+y\) |
| \(\displaystyle 3\) |
\(\displaystyle 800-3\cdot y\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}04(800-2\cdot y)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}04(800-2\cdot y)}+y\) |
| \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) |
| \(\displaystyle 9\) |
\(\displaystyle \color{green}{800-9\cdot y}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}04(800-8\cdot y)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}04(800-8\cdot y)}+y\) |
Из таблицы получаем, что долг на 10-е число 9-го месяца равен \(\displaystyle \color{green}{800-9\cdot y}{\small .}\)
С другой стороны, по условию задачи долг на 10-е число 9-го месяца равен \(\displaystyle 35\) тысяч рублей. Следовательно,
\(\displaystyle \color{green}{800-9\cdot y}=35{\small .}\)
Отсюда получаем, что
\(\displaystyle y=\frac{800-35}{9}{\small ,}\)
\(\displaystyle y=85{\small .}\)
Поэтому общая выплата в последней месяц равна
\(\displaystyle \color{blue}{0{,}04(800-9\cdot 85)}+\color{green}{800-9\cdot 85}{\small .}\)
| Шаг | Долг | Проценты | Выплаты |
| \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) |
| \(\displaystyle 9\) |
\(\displaystyle \color{green}{800-9\cdot 85}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}04(800-8\cdot 85)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}04(800-8\cdot 85)}+y\) |
| \(\displaystyle 10\) |
\(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}04(800-9\cdot 85)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}04(800-9\cdot 85)}+\color{green}{800-9\cdot 85}\) |
Найдем общую сумму выплат:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{blue}{0{,}04\cdot 800}+85+\color{blue}{0{,}04(800-85)}+85+\color{blue}{0{,}04(800-2\cdot 85)}+85+\ldots\\[5px]\ldots+\color{blue}{0{,}04(800-8\cdot 85)}+85\,+\color{blue}{0{,}04(800-9\cdot 85)}+\color{green}{800-9\cdot 85}{\small . }\end{array}\)
Выделим цветом подобные слагаемые:
\(\displaystyle \begin{array}{l}0{,}04\cdot \color{blue}{800}+\color{green}{85}+0{,}04(\color{blue}{800}-\color{red}{85})+\color{green}{85}+ 0{,}04(\color{blue}{800}-\color{red}{2\cdot 85})+\color{green}{85}+\ldots\\[5px]\ldots+0{,}04(\color{blue}{800}-\color{red}{8\cdot 85})+\color{green}{85}\,+0{,}04(\color{blue}{800}-\color{red}{9\cdot 85})+800-9\cdot 85 {\small . }\end{array}\)
Сгруппируем их:
\(\displaystyle \begin{array}{c} \color{green}{\overbrace{85+85+85+\ldots+85}^{9\, раз}}\,+0{,}04(\color{blue}{\overbrace{800+800+800+\ldots+800+800}^{10 \, раз}}\,)-\\[5px]-0{,}04\cdot \color{red}{85}\,(\color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{8}+\color{red}{9})+800-9\cdot 85 {\small .}\end{array}\)
Вычислим сумму арифметической прогрессии:
\(\displaystyle \color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{8}+\color{red}{9}=\color{red}{\frac{(1+9)}{2}\cdot 9}{\small .}\)
Тогда общая сумма выплат после погашения кредита равна,
\(\displaystyle x=\color{green}{9\cdot 85}+0{,}04\cdot \color{blue}{10\cdot 800}-0{,}04\cdot \color{red}{85}\cdot \color{red}{\frac{(1+9)}{2}\cdot 9}+800-9\cdot 85{\small ,}\)
\(\displaystyle x=0{,}04\cdot \color{blue}{10\cdot 800}-0{,}04\cdot \color{red}{85}\cdot\color{red}{5\cdot 9}+800{\small ,}\)
\(\displaystyle x=320-153+800{\small ,}\)
\(\displaystyle x=967{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 967\) тысяч рублей.