Skip to main content

Теория: Кредит в банке, равномерное уменьшение долга

Задание

10 декабря планируется взять кредит в банке в размере \(\displaystyle 800 \) тысяч рублей на \(\displaystyle 10 \) месяцев. Условия возврата таковы:

  • \(\displaystyle 1 \) -го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle 4 \) % по сравнению с концом предыдущего месяца;
  • со \(\displaystyle 2 \) -го по \(\displaystyle 9 \) -ое число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
  • \(\displaystyle 10 \) -го числа каждого месяца с \(\displaystyle 1 \) -го по \(\displaystyle 10 \) -й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на \(\displaystyle 10 \) -е число предыдущего месяца;
  • к \(\displaystyle 10 \) -му числу \(\displaystyle 10 \) -го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Известно, что cумма долга на \(\displaystyle 10 \) -е число \(\displaystyle 9 \) -го месяца составляет \(\displaystyle 35 \) тысяч рублей.

Найдите общую сумму выплат после погашения кредита.

тысяч рублей

Решение

Пусть \(\displaystyle x\) тысяч рублей – общая сумма выплат после погашения кредита.

Обозначим за \(\displaystyle y\) сумму, на которую уменьшается долг на \(\displaystyle 10\)-е число каждого месяца вплоть до предпоследнего.

Сначала разберем как формируются выплаты в каждом месяце.

Для этого разберем первый шаг:

  • \(\displaystyle 1\)-го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle 4\)%, то есть долг стал \(\displaystyle 800+\frac{4}{100}\cdot 800=1.04\cdot 800{\small ,}\)
  • со \(\displaystyle 2\)-го по \(\displaystyle 9\)-ое число выплачивается часть долга,
  • \(\displaystyle 10\)-го числа каждого месяца с \(\displaystyle 1\)-го по \(\displaystyle 10\)-й долг должен быть меньше на \(\displaystyle y\) тысяч рублей, то есть долг стал \(\displaystyle 800-y\) тысяч рублей.

Чтобы долг уменьшился с \(\displaystyle 800\) тысяч рублей до \(\displaystyle 800-y\) тысяч рублей, необходимо:

  1. выплатить начисленные проценты: \(\displaystyle 0.04\cdot 800{\small ; }\)
  2. выплатить \(\displaystyle y\) тысяч рублей.

Следовательно, выплата в первый месяц – это сумма процентов и \(\displaystyle y\) тысяч рублей:

\(\displaystyle 0.04 \cdot 800+y{\small .}\)

Аналогично формируется выплата в каждом месяце, кроме последнего:

начисленные проценты+\(\displaystyle y\) тысяч рублей.

Составим таблицу выплат:
 

ШагДолгПроцентыВыплаты
 

 

 

\(\displaystyle 800\)
  
1

 

 

\(\displaystyle 800-y\)

\(\displaystyle \color{blue}{0.04\cdot 800}\)

\(\displaystyle \color{blue}{0.04 \cdot 800}+y\)
2

 

 

\(\displaystyle 800-2\cdot y\)
\(\displaystyle \color{blue}{0.04(800-y)}\)\(\displaystyle \color{blue}{0.04(800-y)}+y\)
3

 

 

\(\displaystyle 800-3\cdot y\)
\(\displaystyle \color{blue}{0.04(800-2\cdot y)}\)\(\displaystyle \color{blue}{0.04(800-2\cdot y)}+y\)
\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)
9

 

 

\(\displaystyle \color{green}{800-9\cdot y}\)
\(\displaystyle \color{blue}{0.04(800-8\cdot y)}\)\(\displaystyle \color{blue}{0.04(800-8\cdot y)}+y\)

 

Из таблицы получаем, что долг на 10-е число 9-го месяца равен \(\displaystyle \color{green}{800-9\cdot y}{\small .}\)

С другой стороны, по условию задачи долг на 10-е число 9-го месяца равен \(\displaystyle 35\) тысяч рублей. Следовательно,

\(\displaystyle \color{green}{800-9\cdot y}=35{\small .}\)

Отсюда получаем, что

\(\displaystyle y=\frac{800-35}{9}{\small ,}\)

\(\displaystyle y=85{\small .}\)

Поэтому общая выплата в последней месяц равна

\(\displaystyle \color{blue}{0.04(800-9\cdot 85)}+\color{green}{800-9\cdot 85}{\small .}\)
 

ШагДолгПроцентыВыплаты
\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)
9

 

 

\(\displaystyle \color{green}{800-9\cdot 85}\)
\(\displaystyle \color{blue}{0.04(800-8\cdot 85)}\)\(\displaystyle \color{blue}{0.04(800-8\cdot 85)}+y\)
10

 

 

\(\displaystyle 0\)
\(\displaystyle \color{blue}{0.04(800-9\cdot 85)}\)\(\displaystyle \color{blue}{0.04(800-9\cdot 85)}+\color{green}{800-9\cdot 85}\)

 

 

Найдем общую сумму выплат:

\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{blue}{0.04\cdot 800}+85+\color{blue}{0.04(800-85)}+85+\color{blue}{0.04(800-2\cdot 85)}+85+\ldots\\\ldots+\color{blue}{0.04(800-8\cdot 85)}+85\,+\color{blue}{0.04(800-9\cdot 85)}+\color{green}{800-9\cdot 85}{\small . }\end{array}\)

Выделим цветом подобные слагаемые:

\(\displaystyle \begin{array}{l}0.04\cdot \color{blue}{800}+\color{green}{85}+0.04(\color{blue}{800}-\color{red}{85})+\color{green}{85}+ 0.04(\color{blue}{800}-\color{red}{2\cdot 85})+\color{green}{85}+\ldots\\\ldots+0.04(\color{blue}{800}-\color{red}{8\cdot 85})+\color{green}{85}\,+0.04(\color{blue}{800}-\color{red}{9\cdot 85})+800-9\cdot 85 {\small . }\end{array}\)

Сгруппируем их:

\(\displaystyle \begin{array}{c} \color{green}{\overbrace{85+85+85+\ldots+85}^{9\, раз}}\,+0.04(\color{blue}{\overbrace{800+800+800+\ldots+800+800}^{10 \, раз}}\,)-\\-0.04\cdot \color{red}{85}\,(\color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{8}+\color{red}{9})+800-9\cdot 85 {\small .}\end{array}\)

Вычислим сумму арифметической прогрессии:

\(\displaystyle \color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{8}+\color{red}{9}=\color{red}{\frac{(1+9)}{2}\cdot 9}{\small .}\)

Тогда общая сумма выплат после погашения кредита равна,

\(\displaystyle x=\color{green}{9\cdot 85}+0.04\cdot \color{blue}{10\cdot 800}-0.04\cdot \color{red}{85}\cdot \color{red}{\frac{(1+9)}{2}\cdot 9}+800-9\cdot 85{\small ,}\)

сократим \(\displaystyle \color{green}{9\cdot 85}\) и \(\displaystyle 9\cdot 85{\small ,}\)

\(\displaystyle x=0.04\cdot \color{blue}{10\cdot 800}-0.04\cdot \color{red}{85}\color{red}{\frac{(1+9)}{2}\cdot 9}+800{\small ,}\)

\(\displaystyle x=320-153+800{\small ,}\)

\(\displaystyle x=967{\small .}\)

 

Ответ: \(\displaystyle 967\) тысяч рублей.