Skip to main content

Теория: Кредит в банке, равномерное уменьшение долга

Задание

10 декабря планируется взять кредит в банке в размере \(\displaystyle 700\) тысяч рублей на \(\displaystyle 7\) месяцев. Условия возврата таковы:

  • \(\displaystyle 1\)-го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle p\)% по сравнению с концом предыдущего месяца;
  • со \(\displaystyle 2\)-го по \(\displaystyle 9\)-ое число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
  • \(\displaystyle 10\)-го числа каждого месяца с \(\displaystyle 1\)-го по \(\displaystyle 6\)-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на \(\displaystyle 10\)-е число предыдущего месяца;
  • к \(\displaystyle 10\)-му числу \(\displaystyle 7\)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Cумма долга на \(\displaystyle 10\)-е число \(\displaystyle 6\)-го месяца составляет \(\displaystyle 340\) тысяч рублей.

Общая сумма выплат после погашения кредита составила \(\displaystyle 882\) тысяч рублей.

Найдите процентную ставку, под которую был выдан кредит.

\(\displaystyle p=\) \(\displaystyle \%\)

 
Решение

Пусть  \(\displaystyle x=\frac{p}{100}{\small .}\)

Обозначим за \(\displaystyle y\) сумму, на которую уменьшается долг на \(\displaystyle 10\)-е число каждого месяца вплоть до предпоследнего.

Сначала разберем как формируются выплаты в каждом месяце.

Для этого разберем первый шаг:

  • \(\displaystyle 1\)-го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle p\%{\small ,}\) то есть долг стал \(\displaystyle 700+\frac{p}{100}\cdot 700 =700+x\cdot 700 =(1+x)\cdot 700{\small ,}\)
  • со \(\displaystyle 2\)-го по \(\displaystyle 9\)-ое число выплачивается часть долга,
  • \(\displaystyle 10\)-го числа каждого месяца с \(\displaystyle 1\)-го по \(\displaystyle 10\)-й долг должен быть меньше на \(\displaystyle y\) тысяч рублей, то есть долг стал \(\displaystyle 700-y\) тысяч рублей.

Чтобы долг уменьшился с \(\displaystyle 700\) тысяч рублей до \(\displaystyle 700-y\) тысяч рублей, необходимо:

  1. выплатить начисленные проценты: \(\displaystyle x\cdot 700{\small ; }\)
  2. выплатить \(\displaystyle y\) тысяч рублей.

Следовательно, выплата в первый месяц – это сумма процентов и \(\displaystyle y\) тысяч рублей:

\(\displaystyle x \cdot 700+y{\small .}\)

Аналогично формируется выплата в каждом месяце, кроме последнего:

начисленные проценты+\(\displaystyle y\) тысяч рублей.

Составим таблицу выплат:
 

ШагДолгПроцентыВыплаты
 

 

 

\(\displaystyle 700\)
  
1

 

 

\(\displaystyle 700-y\)

\(\displaystyle \color{blue}{x\cdot 700}\)

\(\displaystyle \color{blue}{x \cdot 700}+y\)
2

 

 

\(\displaystyle 700-2\cdot y\)
\(\displaystyle \color{blue}{x(700-y)}\)\(\displaystyle \color{blue}{x(700-y)}+y\)
3

 

 

\(\displaystyle 700-3\cdot y\)
\(\displaystyle \color{blue}{x(700-2\cdot y)}\)\(\displaystyle \color{blue}{x(700-2\cdot y)}+y\)
\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)
6

 

 

\(\displaystyle \color{green}{700-6\cdot y}\)
\(\displaystyle \color{blue}{x(700-5\cdot y)}\)\(\displaystyle \color{blue}{x(700-5\cdot y)}+y\)

 

Из таблицы получаем, что долг на 10-е число 6-го месяца равен \(\displaystyle \color{green}{700-6\cdot y}{\small .}\)

С другой стороны, по условию задачи долг на 10-е число 6-го месяца равен \(\displaystyle 340\) тысяч рублей. Следовательно,

\(\displaystyle \color{green}{700-6\cdot y}=340{\small .}\)

Отсюда получаем, что

\(\displaystyle y=\frac{700-340}{6}{\small ,}\)

\(\displaystyle y=60{\small .}\)

Продолжим таблицу:
 

ШагДолгПроцентыВыплаты
\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)
6

 

 

\(\displaystyle \color{green}{700-6\cdot 60}\)
\(\displaystyle \color{blue}{x(700-5\cdot 60)}\)\(\displaystyle \color{blue}{x(700-5\cdot 60)}+y\)
7

 

 

\(\displaystyle 0\)
\(\displaystyle \color{blue}{x(700-6\cdot 60)}\)\(\displaystyle \color{blue}{x(700-6\cdot 60)}+\color{green}{700-6\cdot 60}\)


В последнем месяце надо погасить весь долг, то есть  выплатить всю сумму:

  • долг с прошлого месяца: \(\displaystyle \color{green}{700-6\cdot 60} {\small ; }\)
  • проценты, начисленные на этот долг: \(\displaystyle \color{blue}{x(700-6\cdot 60)}{\small . }\)

Поэтому общая выплата в последней месяц равна

\(\displaystyle \color{blue}{x(700-6\cdot 60)}+\color{green}{700-6\cdot 60}{\small .}\)

Найдем общую сумму выплат:

\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{blue}{x\cdot 700}+60+\color{blue}{x(700-60)}+60+\color{blue}{x(700-2\cdot 60)}+60+\ldots\\\ldots+\color{blue}{x(700-5\cdot 60)}+60\,+\color{blue}{x(700-6\cdot 60)}+\color{green}{700-6\cdot 60}{\small . }\end{array}\)

Выделим цветом подобные слагаемые:

\(\displaystyle \begin{array}{l}x\cdot \color{blue}{700}+\color{green}{60}+x(\color{blue}{700}-\color{red}{60})+\color{green}{60}+ x(\color{blue}{700}-\color{red}{2\cdot 60})+\color{green}{60}+\ldots\\\ldots+x(\color{blue}{700}-\color{red}{5\cdot 60})+\color{green}{60}\,+x(\color{blue}{700}-\color{red}{6\cdot 60})+700-6\cdot 60 {\small . }\end{array}\)

Сгруппируем их:

\(\displaystyle \begin{array}{c} \color{green}{\overbrace{60+60+60+\ldots+60}^{6\, раз}}\,+x(\color{blue}{\overbrace{700+700+700+\ldots+700+700}^{7 \, раз}}\,)-\\-x\cdot \color{red}{60}\,(\color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{5}+\color{red}{6})+700-6\cdot 60 {\small .}\end{array}\)

Вычислим сумму арифметической прогрессии:

\(\displaystyle \color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{5}+\color{red}{6}=\color{red}{\frac{(1+6)}{2}\cdot 6}{\small .}\)

Так как по условию общая сумма выплат после погашения кредита равна \(\displaystyle 882\) тысяч рублей, то

\(\displaystyle 882=\color{green}{6\cdot 60}+x\cdot \color{blue}{7\cdot 700}-x\cdot \color{red}{60}\cdot \color{red}{\frac{(1+6)}{2}\cdot 6}+700-6\cdot 60{\small ,}\)

сократим \(\displaystyle \color{green}{6\cdot 60}\) и \(\displaystyle 6\cdot 60{\small ,}\)

\(\displaystyle 882=x\cdot \color{blue}{7\cdot 700}-x\cdot \color{red}{60}\color{red}{\frac{(1+6)}{2}\cdot 6}+700{\small ,}\)

\(\displaystyle (7\cdot 700-60\cdot \frac{1+6}{2}\cdot 6)x=882-700{\small ,}\)

\(\displaystyle (7\cdot 700-60\cdot \frac{1+6}{2}\cdot 6)x=182{\small ,}\)

\(\displaystyle 3640x=182{\small ,}\)

\(\displaystyle x=0{,}05{\small .}\)

Таким образом,

\(\displaystyle p=100\cdot x{\small ,}\)

\(\displaystyle p=100\cdot 0{,}05{\small ,}\)

\(\displaystyle p=5{\small .}\)


Ответ: \(\displaystyle 5\%{\small .}\)