Skip to main content

Теория: Кредит в банке, равномерное уменьшение долга

Задание

\(\displaystyle 10\) декабря планируется взять кредит в банке на сумму \(\displaystyle 700\) тысяч рублей на \(\displaystyle n+1\) месяц. Условия возврата таковы:

  • \(\displaystyle 1\)-го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle p\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца;
  • со \(\displaystyle 2\)-го по \(\displaystyle 9\)-ое число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
  • \(\displaystyle 10\)-го числа каждого месяца с \(\displaystyle 1\)-го по \(\displaystyle n\)-й долг должен быть на \(\displaystyle 60\) тысяч рублей меньше долга на \(\displaystyle 10\)-е число предыдущего месяца;
  • к \(\displaystyle 10\)-му числу \(\displaystyle n+1\)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

На \(\displaystyle 10\)-е число \(\displaystyle n\)-го месяца долг составит \(\displaystyle 100\) тысяч рублей.

Общая сумма выплат после полного погашения кредита составит \(\displaystyle 1052\) тысяч рублей.

Найдите, под какой процент был взят кредит и \(\displaystyle n{\small .}\)

\(\displaystyle p\%=\)\(\displaystyle \%\)

\(\displaystyle n=\).

Решение

Напомним обозначения в задаче.

Кредит был взят на \(\displaystyle n+1\) месяц под \(\displaystyle p\) процентов в месяц.

Обозначим за \(\displaystyle x=\frac{p}{100}{\small .}\)

Построим таблицу ежемесячных выплат.

Сначала поймем как формируются выплаты в каждом месяце.

Для этого разберем первый шаг:

  • \(\displaystyle 1\)-го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle p\%\), то есть долг стал \(\displaystyle 700+\frac{p}{100}\cdot 700=(1+x)\cdot 700{\small ,}\)
  • со \(\displaystyle 2\)-го по \(\displaystyle 9\)-ое число выпалачивается часть долга,
  • \(\displaystyle 10\)-го числа каждого месяца с \(\displaystyle 1\)-го по \(\displaystyle n\)-й долг должен быть меньше на \(\displaystyle 60\) тысяч рублей, то есть долг стал \(\displaystyle 700-60\) тысяч рублей.

Чтобы долг уменьшился с \(\displaystyle 700\) тысяч рублей до \(\displaystyle 700-60\) тысяч рублей, необходимо:

  1. выплатить начисленные проценты: \(\displaystyle x\cdot 700 {\small ; }\)
  2. выплатить \(\displaystyle 60\) тысяч рублей.

Следовательно, выплата в первый месяц – это сумма процентов и \(\displaystyle 60\) тысяч рублей:

\(\displaystyle x\cdot 700+60{\small .}\)

Аналогично формируется выплата в каждом месяце, кроме последнего:

начисленные проценты+\(\displaystyle 60\) тысяч рублей.

Составим таблицу выплат:
 

ШагДолгПроцентыВыплаты
 

 

 

\(\displaystyle 700\)
  
\(\displaystyle 1\)

 

 

\(\displaystyle 700-60\)

\(\displaystyle \color{blue}{x\cdot 700}\)

\(\displaystyle \color{blue}{x\cdot 700}+60\)
\(\displaystyle 2\)

 

 

\(\displaystyle 700-2\cdot 60\)
\(\displaystyle \color{blue}{x(700-60)}\)\(\displaystyle \color{blue}{x(700-60)}+60\)
\(\displaystyle 3\)

 

 

\(\displaystyle 700-3\cdot 60\)
\(\displaystyle \color{blue}{x(700-2\cdot 60)}\)\(\displaystyle \color{blue}{x(700-2\cdot 60)}+60\)
\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)
\(\displaystyle n\)

 

 

\(\displaystyle \color{green}{700-n\cdot 60}\)
\(\displaystyle \color{blue}{x(700-(n-1)\cdot 60)}\)\(\displaystyle \color{blue}{x(700-(n-1)\cdot 60)}+60\)
\(\displaystyle n+1\)

 

 

\(\displaystyle 0\)
\(\displaystyle \color{blue}{x(700-n\cdot 60)}\)\(\displaystyle \color{blue}{x(700-n\cdot 60)}+\color{green}{700-n\cdot 60}\)


По условию известно, что в \(\displaystyle n\) месяце долг составляет \(\displaystyle 100\) тысяч рублей, и, следовательно,

\(\displaystyle \color{green}{700-n\cdot 60}=100{\small .}\)

Отсюда получаем, что

\(\displaystyle n=\frac{700-100}{60}{\small ,}\)

\(\displaystyle n=10{\small .}\)

Продолжим таблицу с \(\displaystyle n=10\) месяца.
 

ШагДолгПроцентыВыплаты
\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)\(\displaystyle \dots\)
\(\displaystyle 10\)

 

 

\(\displaystyle \color{green}{700-10\cdot 60}\)
\(\displaystyle \color{blue}{x(700-9\cdot 60)}\)\(\displaystyle \color{blue}{x(700-9\cdot 60)}+60\)
\(\displaystyle 11\)

 

 

\(\displaystyle 0\)
\(\displaystyle \color{blue}{x(700-10\cdot 60)}\)\(\displaystyle \color{blue}{x(700-10\cdot 60)}+\color{green}{700-10\cdot 60}\)


В последнем месяце надо погасить весь долг, то есть  выплатить всю сумму:

  • долг с прошлого месяца: \(\displaystyle \color{green}{700-10\cdot 60} {\small ; }\)
  • проценты, начисленные на этот долг: \(\displaystyle \color{blue}{x(700-10\cdot 60)} {\small . }\)

Поэтому выплата в последний месяц составит

\(\displaystyle \color{blue}{x(700-10\cdot 60)}+\color{green}{700-10\cdot 60}{\small .}\)

Найдем общую сумму выплат:

\(\displaystyle \begin{array}{l} \color{blue}{x\cdot 700}+60+\color{blue}{x(700-60)}+60+\color{blue}{x(700-2\cdot 60)}+60+\ldots+\color{blue}{x(700-9\cdot 60)}+60+\\+\color{blue}{x(700-10\cdot 60)}+\color{green}{700-10\cdot 60}{\small . }\end{array}\)

Выделим цветом подобные слагаемые:

\(\displaystyle \begin{array}{l} x\cdot \color{blue}{700}+\color{green}{60}+x(\color{blue}{700}-\color{red}{60})+\color{green}{60}+ x(\color{blue}{700}-\color{red}{2\cdot 60})+\color{green}{60}+\ldots+x(\color{blue}{700}-\color{red}{9\cdot 60})+\color{green}{60}+\\+x(\color{blue}{700}-\color{red}{10\cdot 60})+700-10\cdot 60{\small . }\end{array}\)

Сгруппируем их:

\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{green}{\overbrace{60+60+60+\ldots+60}^{10\, раз}}+x(\color{blue}{\overbrace{700+700+700+\ldots+700+700}^{11 \, раз}})-\\-x\cdot 60(\color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{9}+\color{red}{10})+700-10\cdot 60 {\small .}\end{array}\)

Вычислим сумму арифметической прогрессии:

\(\displaystyle \color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{9}+\color{red}{10}=\color{red}{\frac{(1+10)}{2}\cdot 10}{\small .}\)

По условию, общая сумма выплат равна \(\displaystyle 1052{\small .}\) Тогда получаем:

\(\displaystyle 1052=\color{green}{10\cdot 60}+x\cdot \color{blue}{11\cdot 700}-x\cdot 60\color{red}{\frac{(1+10)}{2}\cdot 10}+700-10\cdot 60{\small .}\)

Сократим \(\displaystyle \color{green}{10\cdot 60}\) и \(\displaystyle 10\cdot 60{\small :}\)

\(\displaystyle 1052=x\cdot \color{blue}{11\cdot 700}-x\cdot 60\color{red}{\frac{(1+10)}{2}\cdot 10}+700{\small .}\)

Решим полученное линейное уравнение:

\(\displaystyle (\color{blue}{11\cdot 700}-60\cdot \color{red}{\frac{(1+10)}{2}\cdot 10})x=1052-700{\small ,}\)

\(\displaystyle 4400x=352{\small ,}\)

\(\displaystyle x=\frac{352}{4400} {\small ,}\)

\(\displaystyle x=0{,}08{\small .}\)

Так как \(\displaystyle x=\frac{p}{100}{\small ,}\) то \(\displaystyle p=100\cdot x\) и

\(\displaystyle p=100\cdot 0{,}08{\small ,}\)

\(\displaystyle p=8{\small .}\)

Таким образом,

\(\displaystyle n=10\) и \(\displaystyle p=8{\small .}\)


Ответ: \(\displaystyle n=10\) и \(\displaystyle p=8{\small .}\)