В кинотеатре два идентичных автомата с попкорном, связанные между собой . Вероятность того, что к вечеру попкорн закончится в автомате, равна \(\displaystyle 0{,}4{\small . }\) Вероятность того, что попкорн закончится в обоих автоматах сразу, равна \(\displaystyle 0{,}36{\small . }\)
Найдите вероятность того, что к вечеру попкорн останется в обоих автоматах.
Пусть события
\(\displaystyle A\) – в первом автомате закончится попкорн,
\(\displaystyle B\) – во втором автомате закончится попкорн.
Тогда
\(\displaystyle A \cdot B \) – в первом и во втором автомате закончился попкорн.
По условию известно, что \(\displaystyle P(A)=P(B)=0{,}4\) и \(\displaystyle P(A\cdot B)=0{,}36{\small . }\)
\(\displaystyle \overline{А}\) – неверно, что в первом автомате закончится попкорн, то есть в первом автомате есть попкорн,
\(\displaystyle \overline{B}\) – неверно, что во втором автомате закончится попкорн, то есть во втором автомате есть попкорн,
\(\displaystyle \overline{ A\cdot B}\) – неверно, что в первом и во втором автомате закончился попкорн, то есть
в первом или во втором автомате есть попкорн.
Нам требуется найти вероятность события, что попкорн останется в обоих автоматах, то есть вероятность события
\(\displaystyle \color{red}{P(\overline{A}\cdot \overline{B})}=\,?\)
Рассмотрим противоположное событие к событию \(\displaystyle \color{red}{\overline{A}\cdot \overline{B}}{\small : }\)
\(\displaystyle \overline{\color{red}{\overline{A}\cdot \overline{B}}}\) – неверно, что в обоих автоматах остался попкорн, то есть
попкорна нет хотя бы в одном автомате:
\(\displaystyle \overline{\color{red}{\overline{A}\cdot \overline{B}}}=A+B{\small .}\)
Используем формулу
Вероятность суммы совместных событий
\(\displaystyle P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A\cdot B){\small .}\)
\(\displaystyle P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A\cdot B)=0{,}4+0{,}4-0{,}36=0{,}44{\small .}\)
Так как
\(\displaystyle P(A+B)=P(\overline{\color{red}{\overline{A}\cdot \overline{B}}})=1-\color{red}{P(\overline{A}\cdot \overline{B})}{\small , }\)
то получаем, что
\(\displaystyle \color{red}{P(\overline{A}\cdot \overline{B})}=1-0{,}44=0{,}56{\small .}\)
Ответ:\(\displaystyle 0{,}56{\small . }\)