Skip to main content

Теория: 04 Куб, параллелепипед и прямоугольные многогранники (без решений)

Задание

Ребро куба равно \(\displaystyle 2\sqrt{3} {\small .}\) Найдите диагональ куба.

Решение

Пусть \(\displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб.

Известна длина ребра \(\displaystyle AB=a=2\sqrt3{\small . }\) Требуется найти длину диагонали куба. 

Для вычисления \(\displaystyle A_1C\) построим треугольник \(\displaystyle A_1AC{\small , }\) проведя диагональ основания \(\displaystyle AC{\small :}\)

Ребро куба \(\displaystyle AA_1\) перпендикулярно плоскости основания, в которой лежит \(\displaystyle AC{\small . }\) 

По определению

Определение

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перепендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

получаем, что \(\displaystyle AA_1\) перпендикулярно \(\displaystyle AC\) и треугольник \(\displaystyle A_1AC \) прямоугольный:

При этом в треугольнике \(\displaystyle A_1AC \) известно \(\displaystyle A_1A=2\sqrt3{\small .} \) 

Для вычисления \(\displaystyle A_1C\) найдем \(\displaystyle AC{\small .} \)
 

Основание  куба \(\displaystyle ABCD\) – квадрат.

Найдем длину \(\displaystyle AC\) из прямоугольного равнобедренного треугольника \(\displaystyle ABC\) с катетами длины \(\displaystyle 2\sqrt3{\small .}\)

 \(\displaystyle AC=2\sqrt6 {\small .} \)

Вернемся к  прямоугольному треугольнику \(\displaystyle A_1AC{\small .}\)

Найдем его гипотенузу \(\displaystyle A_1C=d\) по теореме Пифагора

\(\displaystyle A_1C^2=A_1A^2+AC^2{\small ,}\)

\(\displaystyle d^2=\left(2\sqrt3\right)^2+\left(2\sqrt6\right)^2{\small ,}\)

\(\displaystyle d^2=12+24{\small ,}\)

\(\displaystyle d^2=36{\small .}\)

Так как \(\displaystyle d\) – длина отрезка,  то \(\displaystyle d\) положительно, поэтому

\(\displaystyle d=6{\small .}\)

Значит, диагональ куба равна \(\displaystyle 6{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 6{\small .}\)