В треугольнике \(\displaystyle ABC\) угол \(\displaystyle \angle A\) равен \(\displaystyle 60^\circ{\small , }\) угол \(\displaystyle \angle B\) равен \(\displaystyle 82^\circ{\small , }\) \(\displaystyle AD,\, BE\) и \(\displaystyle CF\) – биссектрисы, пересекающиеся в точке \(\displaystyle O{\small .}\) Найдите угол \(\displaystyle AOF{\small .}\)
\(\displaystyle \angle AOF=\)\(\displaystyle ^\circ\)
По условию нужно найти угол \(\displaystyle AOF{\small : } \)
Поскольку сумма углов в треугольнике равна \(\displaystyle 180^\circ{\small ,} \) то в треугольнике \(\displaystyle ABC \) угол \(\displaystyle C \) равен
\(\displaystyle \angle C=180-\angle A- \angle B= 180^\circ- 60^\circ- 82^\circ= 38^\circ{\small . } \)
Пусть \(\displaystyle x \) градусов искомый угол \(\displaystyle AOF{\small . } \) Так как \(\displaystyle AD,\, DE\) и \(\displaystyle CF\) – биссектрисы, то получаем следующие значения углов:
Тогда \(\displaystyle \angle COD= \angle AOF= x \) как вертикальные.
Рассмотрим треугольник \(\displaystyle FOB{\small : } \)
\(\displaystyle \angle OFB= x+30^\circ \) как внешний угол треугольника \(\displaystyle AOF{\small ,} \)
\(\displaystyle \angle FOB= 180^\circ- 41^\circ- (x+30^\circ)=109^\circ-x{\small . }\)
Тогда
\(\displaystyle \angle FOA+ \angle FOB+ \angle BOD= 180^\circ{\small ,} \)
\(\displaystyle x+109^\circ-x+\angle BOD= 180^\circ{\small ,} \)
\(\displaystyle \angle BOD= 71^\circ{\small .} \)
\(\displaystyle \angle ODC \) – внешний угол треугольника \(\displaystyle \angle BDO \) и равен \(\displaystyle 41^\circ+ 71^\circ= 112^\circ{\small :} \)
Рассмотрим \(\displaystyle \triangle CDO{\small : } \)
\(\displaystyle \angle DCO+ \angle COD+ \angle CDO= 180^\circ{ \small ,} \)
\(\displaystyle 19^\circ+ x+ 112^\circ= 180^\circ{ \small ,} \)
\(\displaystyle x= 180^\circ- 112^\circ- 19^\circ{\small ,} \)
\(\displaystyle x= 49^\circ{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 49^\circ{\small .} \)
