Skip to main content

Теория: Построение графика функции \(\displaystyle y=\sqrt{x}\)

Задание

Вычислите приближенные значения функции \(\displaystyle y=\sqrt{x}\) с точностью до сотых.

Для приближенной оценки значения квадратного корня используйте одну из двух формул (выбирая ту, для которой значение параметра \(\displaystyle b\) наименьшее):

\(\displaystyle \sqrt{a^2+b} \approx a+\frac{b}{2a}\) или \(\displaystyle \sqrt{a^2-b} \approx a-\frac{b}{2a}{\small .}\)

\(\displaystyle x\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 2\)\(\displaystyle 3\)\(\displaystyle 4\)\(\displaystyle 5\)\(\displaystyle 6\)
\(\displaystyle y=\sqrt{x}\)


Мысленно постройте график квадратичной функции \(\displaystyle y=\sqrt{x}\) по полученным точкам:

Решение

Заполним таблицу значений квадратичной функции \(\displaystyle y=\sqrt{x}{\small :}\)

\(\displaystyle x\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 2\)\(\displaystyle 3\)\(\displaystyle 4\)\(\displaystyle 5\)\(\displaystyle 6\)
\(\displaystyle y=\sqrt{x}\)\(\displaystyle \sqrt{0}\)\(\displaystyle \sqrt{1}\)\(\displaystyle \sqrt{2}\)\(\displaystyle \sqrt{3}\)\(\displaystyle \sqrt{4}\)\(\displaystyle \sqrt{5}\)\(\displaystyle \sqrt{6}\)


Вычислим значения \(\displaystyle y{\small .} \)

Поскольку \(\displaystyle \sqrt{0}=0{ \small ,}\,\sqrt{1}=1 \) и \(\displaystyle \sqrt{4}=2{ \small ,} \) то нужно лишь приближенно вычислить значения

\(\displaystyle \sqrt{2}{ \small ,}\, \sqrt{3}{ \small ,}\,\sqrt{5} \) и \(\displaystyle \sqrt{6}{\small .} \)

Вычислим по порядку эти значения.

\(\displaystyle \sqrt{2} \) равен примерно \(\displaystyle 1{,}5 \)

Найдем приближенное значение \(\displaystyle \sqrt{\color{red}{ 2}}{\small .}\)

Для этого возьмем ближайший к \(\displaystyle 2\) квадрат числа – это \(\displaystyle 1{\small .} \) Выразим \(\displaystyle 2\) через этот квадрат:

\(\displaystyle \color{red}{ 2}=1+1=\color{green}{ 1}^2+\color{blue}{ 1}{\small .} \)

Воспользуемся формулой

\(\displaystyle \sqrt{\color{green}{ a}^2+\color{blue}{ b}} \approx \color{green}{ a}+\frac{\color{blue}{ b}}{2\color{green}{ a}}{\small .}\)

Тогда \(\displaystyle \color{green}{ a}=\color{green}{ 1}{ \small ,}\,\color{blue}{ b}=\color{blue}{ 1}{\small .} \) Получаем:

\(\displaystyle \sqrt{ \color{red}{ 2}}= \sqrt{ \color{green}{ 1}^2+\color{blue}{ 1}} \approx \color{green}{ 1}+\frac{\color{blue}{ 1}}{2\cdot \color{green}{ 1}}=1{,}5{\small .}\)

Таким образом, \(\displaystyle \sqrt{2}\approx 1{,}5{\small .} \)

\(\displaystyle \sqrt{3} \) равен примерно \(\displaystyle 1{,}75 \)

\(\displaystyle \sqrt{5} \) равен примерно \(\displaystyle 2{,}25\)

\(\displaystyle \sqrt{6} \) равен примерно \(\displaystyle 2{,}5\)

Заполним таблицу значений квадратичной функции:

\(\displaystyle x\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 2\)\(\displaystyle 3\)\(\displaystyle 4\)\(\displaystyle 5\)\(\displaystyle 6\)
\(\displaystyle y=\sqrt{x}\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 1{,}5\)\(\displaystyle 1{,}75\)\(\displaystyle 2\)\(\displaystyle 2{,}25\)\(\displaystyle 2{,}5\)


Построим точки на плоскости:


Построим примерный график функции \(\displaystyle y=\sqrt{x}\) по полученным точкам, добавляя еще точки, если это необходимо: