Skip to main content

Теория: Логарифм произведения и частного

Задание

Найдите значение выражения:

\(\displaystyle \log_5 75-\frac{1}{2} \log_5 9= \)

Решение

Данное выражение – это разность, логарифмы имеют одинаковые основания.

Однако перед вторым логарифмом стоит множитель – это не дает возможности сразу применить свойство разности логарифмов.

Внесем этот множитель под логарифм, применив свойство логарифма степени:

Правило

\(\displaystyle \log_a b^{\color{red}k}=\color{red}k \log_a b\)

или

\(\displaystyle \color{red}k \log_a b=\log_a b^{\color{red}k}\)

\(\displaystyle (b>0, a>0,a \, \cancel= \,1 )\)

Получаем:

\(\displaystyle \color{red}{\frac{1}{2}} \log_5 9=\log_5 9^{\color{red}{\frac{1}{2}}} {\small.}\)

Упростим полученный логарифм:

\(\displaystyle 9^{\frac{1}{2}}=\sqrt 9 =3{\small,}\)

\(\displaystyle \log_5 9^{\frac{1}{2}}=\log_5 3{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle \log_5 75-\frac{1}{2} \log_5 9=\log_5 75- \log_5 3 {\small.} \)


Применим свойство разности логарифмов:

Правило

\(\displaystyle \log_{\color{red}{a}} \color{blue}b-\log_{\color{red}{a}} \color{blue}c=\log_\color{red}a \frac{\color{blue}b} {\color{blue}c} \)

\(\displaystyle (b>0, c>0,a>0,a \, \cancel= \,1 )\)

Значит,

\(\displaystyle \log_5 75- \log_5 3=\log_5 \frac{75}{3}{\small.}\)


Найдем значение полученного логарифма:

\(\displaystyle \log_5 \frac{75}{3}=\log_5 25=2{\small .}\) 


Таким образом, верна следующая цепочка равенств:

\(\displaystyle \log_5 75-\frac{1}{2} \log_5 9=\log_5 75- \log_5 3=\log_5 \frac{75}{3}=\log_5 25=2 {\small .}\) 


Ответ: \(\displaystyle 2 {\small.} \)